مسابقة دكتوراه 2014 — Université Badji Mokhtar - Annaba — الموضوع 04

Soit $X = C[a, b]$ ; $-\infty \leq a < b < +\infty$, l'espace des fonctions continues sur l'intervalle $[a, b]$, muni de la norme usuelle

$$\|u\| = \max_{a \leq x \leq b} |u(x)|, \quad \forall u \in X.$$

On note par $X^*$ le dual topologique de $X$ muni de sa norme usuelle

$$\|f\|_* = \sup_{u \in X,\ u \neq 0} \frac{|f(u)|}{\|u\|}, \quad \forall f \in X^*.$$

On définit une forme $l : X \to \mathbb{R}$ par :

$$l(u) = \int_a^b u(x)\,dx, \quad \forall u \in X.$$

1. Montrer que la forme $l$ est linéaire, continue. (7 pts)
2. Calculer la norme de la forme $l$. (7 pts)
3. Montrer que l'ensemble

$$E = \left\{ u \in X;\ \int_a^b u(x)\,dx = 0 \right\}$$

est fermé. (6 pts)