مسابقة دكتوراه 2014 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 04

مسابقة تخصص · Algèbre · المدة: 2سا

Concours Cycle D « Maths Fondamentales et Cryptographie » 2014-15, Épreuve d'Algèbre, Faculté de Mathématiques, USTHB, 13 octobre 2014, durée 2h.

التمرين 1

Exercice 1 — Sous-groupes distingués résolubles et suites de Jordan-Holder

#group-theory#solvable-groups#composition-series

Soient $H$ et $K$ deux sous-groupes distingués et résolubles d'un groupe $G$ . Montrer que $HK$ est distingué et résoluble.
Soient $H,K$ distingués tels que $G/H$ et $G/K$ soient résolubles. Montrer que $G/(H\cap K)$ est résoluble.
Déterminer à isomorphisme près les groupes d'ordre $15,\ 35$ .
Déterminer une suite de Jordan-Holder pour : a) $\mathbb{Z}/18\mathbb{Z}$ , b) $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ , c) $S_3,S_4,S_5$ .

◀الحل

$HK/H\cong K/(H\cap K)$ résoluble et $H$ résoluble $\Rightarrow$ $HK$ résoluble ; produit de distingués distingué.
$G/(H\cap K)\hookrightarrow G/H\times G/K$ , sous-groupe d'un résoluble.
$\boxed{\mathbb{Z}_{15}\ \text{et}\ \mathbb{Z}_{35}\ \text{(cycliques, uniques)}}$ .
Facteurs de composition : $\mathbb{Z}/18:\{\mathbb{Z}_2,\mathbb{Z}_3,\mathbb{Z}_3\}$ ; $\mathbb{Z}_2^2:\{\mathbb{Z}_2,\mathbb{Z}_2\}$ ; $S_3:\{\mathbb{Z}_3,\mathbb{Z}_2\}$ ; $S_4:\{\mathbb{Z}_2,\mathbb{Z}_2,\mathbb{Z}_3,\mathbb{Z}_2\}$ ; $S_5:\{A_5,\mathbb{Z}_2\}$ .

Exercice 2 — Éléments nilpotents d'un anneau

#ring-theory#nilpotent-elements#two-sided-ideals

Soit $A$ un anneau.

Montrer par un contre-exemple que l'ensemble des éléments nilpotents de $A$ ne forme pas un sous-groupe abélien de $A$ (on pourra choisir $A=M_2(\mathbb{C})$ ).
Soit $N=\{a\in A/\ ax\ \text{est nilpotent}\ \forall x\in A\}$ . Montrer que $N$ est un idéal bilatère de $A$ et que tout élément de $N$ est nilpotent.
Soit $I$ un idéal bilatère de $A$ dont tout élément est nilpotent. Montrer que $I\subset N$ .

◀الحل

Dans $M_2(\mathbb{C})$ , $E_{12}$ et $E_{21}$ sont nilpotentes mais $(E_{12}+E_{21})^2=I$ : la somme n'est pas nilpotente.
$N$ est le nilradéal ; c'est un idéal bilatère nil (prendre $x=1$ montre $a$ nilpotent).
Si $a\in I$ alors $ax\in I$ nilpotent $\forall x$ , donc $a\in N$ : $\boxed{I\subset N}$ .

Exercice 3 — Anneau quotient K[X,Y]/(X^2,XY,Y^2)

#commutative-algebra#local-ring#ideals

Soit $K$ un corps. On pose $A=\dfrac{K[X,Y]}{(X^2,XY,Y^2)}$ .

◀الحل

$A=K\oplus Kx\oplus Ky$ avec $x^2=xy=y^2=0$ ; idéal maximal $\mathfrak{m}=Kx+Ky$ , $\mathfrak{m}^2=0$ .

Inversibles : $a+bx+cy$ avec $a\ne0$ .
Idéaux principaux : $0$ , $A$ , et les droites $K(\alpha x+\beta y)\subset\mathfrak{m}$ .
Tous les idéaux : $\boxed{\{0\},\ A,\ \text{et tout sous-espace de }\mathfrak{m}}$ (dim 0,1,2) ; $\mathfrak{m}$ n'est pas principal.

Exercice 4 — Modules de type fini

#module-theory#exact-sequences#free-modules

Soient $L,M$ deux $A$ -modules et $f:L\to M$ un homomorphisme.

On suppose que $\operatorname{Ker}(f)$ et $\operatorname{Im}(f)$ sont de type fini. Montrer que $L$ est de type fini.
On suppose que $\operatorname{Ker}(f)\cong A^p$ et $\operatorname{Im}(f)\cong A^q$ . Montrer que $L\cong A^{p+q}$ .

◀الحل

Suite exacte $0\to\operatorname{Ker}f\to L\to\operatorname{Im}f\to0$ : générateurs de $\operatorname{Ker}f$ + antécédents de ceux de $\operatorname{Im}f$ engendrent $L$ .
$\operatorname{Im}f\cong A^q$ libre $\Rightarrow$ la suite se scinde, donc $\boxed{L\cong A^p\oplus A^q=A^{p+q}}$ .