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مسابقة دكتوراه 2014 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 04

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques · المدة: 1سا 30د

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Concours d'accès à la formation de 3ème Cycle LMD, Mathématiques Appliquées (Option : Probabilités et Statistique), Épreuve de Statistique, Université Mohamed Khider - Biskra, Faculté des Sciences Exactes et des Sciences de la Nature et de la Vie, Département de Mathématiques, 16 octobre 2014, durée 01h30.

التمرين 1

Exercice 1 — Loi géométrique : modèle exponentiel, estimateur MV et normalité asymptotique

#geometric-distribution#maximum-likelihood#asymptotic-normality#exponential-family

Soit XX une variable aléatoire à valeurs dans N∗\mathbb{N}^* définie comme l'instant de premier succès d'un schéma de Bernoulli de paramètre p∈]0,1[p \in ]0, 1[.

  1. Vérifier que la loi de XX est une loi géométrique dont on précisera le paramètre.
  2. Vérifier qu'il s'agit d'un modèle exponentiel.
  3. Soit X1,...,XnX_1, ..., X_n un échantillon indépendant de taille nn de même loi que XX.
  4. Déterminer p^n\widehat{p}_n, l'estimateur du maximum de vraisemblance de pp.
  5. Montrer que l'estimateur du maximum de vraisemblance est asymptotiquement normal.
◀الحل

1.

P(X=k)=(1−p)k−1pP(X = k) = (1-p)^{k-1} p pour k∈N∗k \in \mathbb{N}^*. Il s'agit de la loi géométrique de paramètre pp.

2.

On peut écrire P(X=k)=p⋅e(k−1)log⁡(1−p)=exp⁡(klog⁡(1−p)+log⁡(p/(1−p)))P(X=k) = p \cdot e^{(k-1)\log(1-p)} = \exp(k\log(1-p) + \log(p/(1-p))), forme exponentielle naturelle avec η=log⁡(1−p)\eta = \log(1-p).

3.–4.

La log-vraisemblance est ℓ(p)=nlog⁡p+(∑Xi−n)log⁡(1−p)\ell(p) = n\log p + (\sum X_i - n)\log(1-p). En annulant : p^n=1/Xˉn\widehat{p}_n = 1/\bar{X}_n.

p^n=1Xˉn\boxed{\widehat{p}_n = \frac{1}{\bar{X}_n}}

5.

Par le TCL, n(Xˉn−1/p)→N(0,(1−p)/p2)\sqrt{n}(\bar{X}_n - 1/p) \to \mathcal{N}(0, (1-p)/p^2). Par la méthode delta : n(p^n−p)→N(0,p2(1−p))\sqrt{n}(\widehat{p}_n - p) \to \mathcal{N}(0, p^2(1-p)).

التمرين 2

Exercice 2 — Loi de Laplace : espérance, variance et intervalle de confiance

#laplace-distribution#maximum-likelihood#confidence-interval#delta-method

Soit XX une v.a. de densité :

f(x)=12e−∣x−θ∣,x∈Rf(x) = \frac{1}{2} e^{-|x-\theta|}, \quad x \in \mathbb{R}

où θ\theta est un paramètre réel inconnu.

  1. Calculer Eθ[X]E_\theta[X] et Varθ[X]\text{Var}_\theta[X]. En déduire un estimateur TnT_n de θ\theta.
  2. Construire un intervalle de confiance de niveau asymptotique 95% pour θ\theta dans le cas général.
◀الحل

1.

Par symétrie autour de θ\theta : E[X]=θE[X] = \theta. Var(X)=E[(X−θ)2]=2∫0∞u212e−udu=Γ(3)=2\text{Var}(X) = E[(X-\theta)^2] = 2\int_0^\infty u^2 \frac{1}{2}e^{-u} du = \Gamma(3) = 2.

Un estimateur naturel de θ\theta est Tn=XˉnT_n = \bar{X}_n (méthode des moments).

2.

Par le TCL : n(Xˉn−θ)→N(0,2)\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) \to \mathcal{N}(0, 2). Un IC à 95% est :

[Xˉn−1.962n,  Xˉn+1.962n]\boxed{\left[\bar{X}_n - \frac{1.96\sqrt{2}}{\sqrt{n}},\; \bar{X}_n + \frac{1.96\sqrt{2}}{\sqrt{n}}\right]}

التمرين 3

Exercice 3 — Densité gaussienne bivariée : marginales, indépendance et densité conditionnelle

#bivariate-gaussian#marginal-density#conditional-density#independence

La densité conjointe de (X,Y)(X, Y) est donnée par :

f(x,y)=334πexp⁡ ⁣[−32(x2+y2−xy)],(x,y)∈R2.f(x, y) = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi} \exp\!\left[-\frac{3}{2}(x^2 + y^2 - xy)\right], \quad (x, y) \in \mathbb{R}^2.

  1. Trouver les densités marginales fX(x)f_X(x) et fY(y)f_Y(y). (Indication : utiliser les propriétés d'une densité gaussienne).
  2. Les variables XX et YY sont-elles indépendantes ?
  3. Trouver la densité conditionnelle fX/Y(x/y)f_{X/Y}(x/y).
◀الحل

1.

On complète le carré : x2+y2−xy=(x−y/2)2+3y2/4x^2 + y^2 - xy = (x - y/2)^2 + 3y^2/4. Donc : f(x,y)=334πe−32(x−y/2)2e−98y2f(x,y) = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi} e^{-\frac{3}{2}(x-y/2)^2} e^{-\frac{9}{8}y^2} fY(y)=334πe−9y2/8∫−∞∞e−32(x−y/2)2dx=334π⋅2π3⋅e−9y2/8=322πe−9y2/8f_Y(y) = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi} e^{-9y^2/8} \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{3}{2}(x-y/2)^2} dx = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi} \cdot \sqrt{\frac{2\pi}{3}} \cdot e^{-9y^2/8} = \frac{3}{2\sqrt{2\pi}} e^{-9y^2/8}, donc Y∼N(0,4/9)Y \sim \mathcal{N}(0, 4/9). Par symétrie X∼N(0,4/9)X \sim \mathcal{N}(0, 4/9).

2.

f(x,y)≠fX(x)fY(y)f(x,y) \neq f_X(x)f_Y(y) (présence du terme croisé xyxy), donc XX et YY ne sont pas indépendantes.

3.

fX∣Y(x∣y)=f(x,y)/fY(y)∝e−32(x−y/2)2f_{X|Y}(x|y) = f(x,y)/f_Y(y) \propto e^{-\frac{3}{2}(x-y/2)^2}, donc X∣Y=y∼N(y/2,1/3)X|Y=y \sim \mathcal{N}(y/2, 1/3).

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