📚 الرئيسية
دخول

مسابقة دكتوراه 2014 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 05

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques · المدة: 1سا 30د

⬇️ تحميل☆ حفظ✓ تم الحل

Concours d'accès à la formation de 3ème Cycle LMD, Mathématiques Appliquées (Option : Probabilités et Statistique), Épreuve de Statistique (2ème version), Université Mohamed Khider - Biskra, Faculté des Sciences Exactes et des Sciences de la Nature et de la Vie, Département de Mathématiques, 16 octobre 2014, durée 01h30.

التمرين 1

Exercice 1 — Moyenne et variance empiriques : biais, formule de décomposition et deux échantillons

#sample-mean#sample-variance#unbiased-estimator#two-sample

A) Soit (X1,...,Xn)(X_1, ..., X_n) un échantillon de taille n≥1n \geq 1 d'une population XX d'espérance μ\mu et de variance σ2\sigma^2. On désigne par les moyenne et variance empiriques par

Xˉ=1n∑i=1nXietS2=1n∑i=1n(Xi−Xˉ)2.\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \quad \text{et} \quad S^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2.

  1. Déterminer EXˉE\bar{X}.
  2. Montrer que S2=1n∑i=1n(Xi−μ)2−(Xˉ−μ)2S^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2 - (\bar{X} - \mu)^2. Déduire ES2ES^2.

B) On dispose maintenant de 2 échantillons de tailles n1n_1 et n2n_2 de 2 populations indépendantes, d'espérances μ1\mu_1 et μ2\mu_2 et de variance commune σ2\sigma^2. Les moyennes empiriques sont notées par Xˉ1\bar{X}_1 et Xˉ2\bar{X}_2 et les variances empiriques par S12S_1^2 et S22S_2^2 respectivement. Montrer que

T=Xˉ1−Xˉ2etV2=n1S12+n2S22n1+n2−2T = \bar{X}_1 - \bar{X}_2 \quad \text{et} \quad V^2 = \frac{n_1 S_1^2 + n_2 S_2^2}{n_1 + n_2 - 2}

sont des estimateurs sans biais de θ=μ1−μ2\theta = \mu_1 - \mu_2 et de σ2\sigma^2 respectivement.

◀الحل

A.1.

E[Xˉ]=μE[\bar{X}] = \mu. ✓

A.2.

1n∑(Xi−Xˉ)2=1n∑(Xi−μ)2−(Xˉ−μ)2\frac{1}{n}\sum(X_i-\bar{X})^2 = \frac{1}{n}\sum(X_i-\mu)^2 - (\bar{X}-\mu)^2 (en développant et simplifiant). Donc : E[S2]=σ2−Var(Xˉ)=σ2−σ2n=n−1nσ2E[S^2] = \sigma^2 - \text{Var}(\bar{X}) = \sigma^2 - \frac{\sigma^2}{n} = \frac{n-1}{n}\sigma^2

B.

E[T]=μ1−μ2=θE[T] = \mu_1 - \mu_2 = \theta. Pour V2V^2 : E[njSj2]=(nj−1)σ2E[n_j S_j^2] = (n_j-1)\sigma^2, donc : E[V2]=(n1−1)+(n2−1)n1+n2−2σ2=σ2E[V^2] = \frac{(n_1-1)+(n_2-1)}{n_1+n_2-2}\sigma^2 = \sigma^2

T et V2 sont sans biais.\boxed{T \text{ et } V^2 \text{ sont sans biais.}}

التمرين 2

Exercice 2 — Loi uniforme : estimateur des moments, MLE, deuxième estimateur sans biais et erreurs quadratiques

#uniform-distribution#maximum-likelihood#method-of-moments#mean-squared-error

Soit (X1,...,Xn)(X_1, ..., X_n) un échantillon, de taille n≥2n \geq 2, d'une population XX de distribution uniforme sur [0,θ][0, \theta], θ>0\theta \gt 0.

  1. Déterminer l'estimateur des moments θ~1\tilde{\theta}_1 de θ\theta. Vérifier qu'il est sans biais.
  2. Montrer que l'estimateur du maximum de vraisemblance de θ\theta est T=max⁡1≤i≤nXiT = \max_{1 \leq i \leq n} X_i.
  3. Déterminer la densité de probabilité de TT, puis son espérance. Déduire un deuxième estimateur sans biais θ~2\tilde{\theta}_2 de θ\theta.
  4. Calculer les erreurs quadratiques moyennes de θ~1\tilde{\theta}_1 et θ~2\tilde{\theta}_2. Conclure.
◀الحل

1.

E[X]=θ/2E[X] = \theta/2, donc θ~1=2Xˉ\tilde{\theta}_1 = 2\bar{X}. E[θ~1]=θE[\tilde{\theta}_1] = \theta. ✓

2.

La vraisemblance L(θ)=θ−n1T≤θL(\theta) = \theta^{-n} 1_{T \leq \theta} est maximale pour le plus petit θ\theta possible : θ^=T=max⁡Xi\widehat{\theta} = T = \max X_i.

3.

FT(t)=(t/θ)nF_T(t) = (t/\theta)^n pour t∈[0,θ]t \in [0,\theta], donc fT(t)=ntn−1/θnf_T(t) = nt^{n-1}/\theta^n. E[T]=nθ/(n+1)E[T] = n\theta/(n+1). D'où : θ~2=n+1nT\tilde{\theta}_2 = \frac{n+1}{n}T

4.

MSE(θ~1)=Var(2Xˉ)=4⋅θ2/12n=θ23n\text{MSE}(\tilde{\theta}_1) = \text{Var}(2\bar{X}) = 4\cdot\frac{\theta^2/12}{n} = \frac{\theta^2}{3n}. MSE(θ~2)=Var(θ~2)=θ2n(n+2)\text{MSE}(\tilde{\theta}_2) = \text{Var}(\tilde{\theta}_2) = \frac{\theta^2}{n(n+2)}.

Puisque 1n(n+2)<13n\frac{1}{n(n+2)} \lt \frac{1}{3n} pour n≥1n \geq 1, θ~2\tilde{\theta}_2 est plus efficace que θ~1\tilde{\theta}_1.

→السابقConcours Doctorat 2014 — Université Mohamed Khider - Biskra — Épreuve N°04التاليConcours Doctorat 2014 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — Épreuve N°05←