مسابقة دكتوراه 2014 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 05

مسابقة تخصص · Systèmes Dynamiques

USTHB, Concours pour le doctorat Systèmes dynamiques — Épreuves EDO, Courbes et surfaces / Analyse, Topologie / EDP et applications — scans mixtes 2013-2014.

التمرين 1

Exercice 1 — Système de Lorenz et stabilité de l'origine

#dynamical-systems#lorenz-system#stability#equilibrium-points

Considérons le système de Lorenz : $x'=-ax+ay$ , $y'=bx-y-xz$ , $z'=-cz+xy$ avec $c\gt0$ , $a\gt c+1$ , $b\gt0$ .

Vérifier que dans le cas $b \lt 1$ le seul point d'équilibre est l'origine.
Déterminer les points d'équilibre pour $b \gt 1$ .
Étudier la stabilité de la solution nulle.

◀الحل

Les équilibres vérifient $x=y$ et $z=b-1$ . Si $b\lt1$ , seul $(0,0,0)$ existe. Si $b\gt1$ , on a en plus $(\pm\sqrt{c(b-1)}, \pm\sqrt{c(b-1)}, b-1)$ . La stabilité de l'origine se déduit de la matrice jacobienne $\begin{pmatrix}-a&a&0\\ b&-1&0\\0&0&-c\end{pmatrix}$ et du signe des parties réelles.

التمرين 2

Exercice 2 — Hélice circulaire et trièdre de Frenet-Serret

#differential-geometry#curves#frenet-serret#helix

Dans $\mathbb R^3$ , la courbe est donnée par $x=\cos t$ , $y=\sin t$ , $z=bt$ .

Faire un dessin.
Déterminer le trièdre de Frenet-Serret $(T,N,B)$ .
Montrer que la courbure et la torsion sont constantes.
Conclure que c'est une hélice circulaire droite.

◀الحل

$\gamma'(t)=(-\sin t, \cos t, b)$ , $\|\gamma'|=\sqrt{1+b^2}$ . On calcule $T,N,B$ par normalisation. La courbure vaut $\kappa=1/(1+b^2)$ et la torsion $\tau=b/(1+b^2)$ , toutes deux constantes, donc la courbe est une hélice circulaire droite.

التمرين 3

Exercice 3 — Topologie plane et suites intégrales associées à des EDO

#topology#planar-sets#ordinary-differential-equations#series

Résoudre deux EDO linéaires données et, pour leur solution commune $f$ , étudier la convergence de la série de terme général $u_n=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} f(x)dx$ .
Dans $\mathbb R^2$ , pour les ensembles $A=\{(x,y):x-2\le y\le x^2\}$ , $B=\{(x,y):x^2\lt y \text{ ou } y\lt x-2\}$ , $C=\{(x,y):0\le x\le1, x-2\le y \le x^2\}$ : faire un dessin et discuter fermeture, connexité par arcs, compacité, complétude.

◀الحل

Les EDO se résolvent explicitement, puis la série des intégrales se traite par convergence géométrique/absolue selon la solution obtenue. Pour les ensembles plans, on les identifie comme région entre une parabole et une droite, son complémentaire, et sa portion restreinte. On discute ensuite leurs propriétés topologiques directement.

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