مسابقة دكتوراه 2015 — Université Badji Mokhtar - Annaba — الموضوع 08

Soient $u$ une fonction déterministe continue sur $\mathbb{R}$. On définit le processus $(X_t)_{t \geq 0}$ par

$$X_t = \int_0^t u_s\,dB_s - \frac{1}{2}\int_0^t u_s^2\,ds.$$

1. Déterminer $E(X_t)$. Vérifier que $E(X_t)$ est une fonction décroissante de $t$.
2. On pose $Y_t = \exp(X_t)$. Déterminer l'E.D.S. satisfaite par $Y_t$.
3. Le processus $(Y_t)_{t \geq 0}$ est-il une martingale ?
4. Calculer $E(Y_t)$ et $V(Y_t)$.
5. Déterminer

$$E\exp\left(\int_0^t u_s\,dB_s\right).$$

Soit $x \in \mathbb{R}$. Soit $(X_t)_{t \geq 0}$ un processus continu, adapté tel que

$$X_t = x + \int_0^t (1 + X_s^2)^{\frac{1}{2}}\,dB_s + \frac{1}{2}\int_0^t X_s\,ds, \quad t \geq 0.$$

On pose

$$Y_t := \ln\left[(1 + X_t^2)^{\frac{1}{2}} + X_t\right], \quad t \geq 0.$$

En appliquant la formule d'Itô, montrer que $(Y_t)_{t \geq 0}$ est une martingale. En déduire $X_t$ en fonction de $B_t$ et $x$.