مسابقة دكتوراه 2015 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 08

Soient $1\leq q\leq p<\infty$ et $X,Y$ deux espaces de Banach. On dira que $T\in\mathcal{L}(X;Y)$ est $(p,q)$-sommant s’il existe une constante positive $C$ telle que, pour tous $x_1,\ldots,x_n\in X$,

$$\left(\sum_{i=1}^{n}\lVert T(x_i)\rVert^p\right)^{1/p}\leq C\sup_{\varphi\in B_{X^*}}\left(\sum_{i=1}^{n}\lvert\langle x_i,\varphi\rangle\rvert^q\right)^{1/q}.$$

On note

$$\Pi_{p,q}(X,Y)=\{T:X\to Y\text{ linéaires }(p,q)\text{-sommants}\}$$

et

$$\pi_{p,q}(T)=\inf\{C\text{ vérifiant l’inégalité précédente}\}.$$

Montrer que :

1. si $T\in\Pi_{p,q}(X,Y)$, alors $T$ est continu et $\lVert T\rVert\leq\pi_{p,q}(T)$ ;
2. si $q>p$, alors $\Pi_{p,q}(X,Y)=\{0\}$ ;
3. $\Pi_{p,q}(X,Y)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(X,Y)$ et $\pi_{p,q}$ est une norme sur cet espace ;
4. tout opérateur de rang fini est $(p,q)$-sommant ;
5. $\pi_{p,q}(\operatorname{id}_{\mathbb{K}}:\mathbb{K}\to\mathbb{K})=1$ ;
6. s’il existe une probabilité $\mu$ sur $B_{X^*}$ et une constante positive $C$ telles que, pour tout $x\in X$,

$$\lVert T(x)\rVert\leq C\left(\int_{B_{X^*}}\lvert\langle x,\varphi\rangle\rvert^p\,d\mu(\varphi)\right)^{1/p},$$

alors $T\in\Pi_{p,p}(X,Y)$.

On pose

$$A=\left\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}:\exists c>0,\ \lvert f(2x-y)-2f(x)+f(y)\rvert\leq c\lvert x-y\rvert,\ \forall(x,y)\in\mathbb{R}^2\right\}.$$

Soit $\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R})$ une fonction telle que $\operatorname{supp}\varphi\subset\left[-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right]$, $0\leq\varphi(x)\leq1$ et $\varphi(x)=1$ si $x\in]-1,1[$. On pose

$$\psi(x)=\varphi(x)-\varphi(3x).$$

Soient les fonctions

$$g(x)=\begin{cases} x(\log\lvert x\rvert)^2, & x\neq0,\\ 0, & x=0, \end{cases}$$ $$h(x)=\psi(x)g(x),\qquad u(x)=\sum_{j=1}^{\infty}\frac{2^{-j}}{j}\varphi(2^jx).$$

1. Soit $f\in A$. Que représente

$$\sup_{(x,y)\in\mathbb{R}^2,\ x\neq y}\lvert x-y\rvert^{-1}\lvert f(2x-y)-2f(x)+f(y)\rvert?$$

Justifier.

2. Est-ce que $g\in A$ ? Justifier. Montrer que $h\in A$.

3. Est-ce qu’il existe une constante $C>0$ telle que, pour tout $x\in]0,1]$,

$$\lvert u(x)\rvert\leq Cx?$$

Indication : on pourra calculer $u(2^{-N})$ pour $N\in\mathbb{N}^*$.