مسابقة دكتوراه 2015 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 08

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques · المدة: 1سا 30د

Concours d'accès à la formation de 3ème Cycle LMD — Mathématiques Appliquées (Option Probabilités et Statistique) — Épreuve de Statistique (variante 1), Université Mohamed Khider - Biskra, Faculté des Sciences Exactes et des Sciences de la Nature et de la Vie, Département de Mathématiques — 16/10/2014 — Durée 01h30.

التمرين 1

Exercice 1 — Loi géométrique : modèle exponentiel et EMV

#statistics#geometric-distribution#exponential-family#mle#asymptotic-normality

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}^*$ définie comme l'instant de premier succès dans un schéma de Bernoulli de paramètre $p \in ]0, 1[$ .

(1,5 pts) Vérifier que la loi de $X$ est une loi géométrique dont on précisera le paramètre.
(1,5 pts) Vérifier qu'il s'agit d'un modèle exponentiel.
(1 pt) Soit $X_1, \ldots, X_n$ un échantillon indépendant de taille $n$ de même loi que $X$ .
(1,5 pts) Déterminer $\hat{q}_n$ , l'estimateur du maximum de vraisemblance de $p$ .
(1,5 pts) Montrer que l'estimateur du maximum de vraisemblance est asymptotiquement normal.

◀الحل

1.

$P(X = k) = (1-p)^{k-1}p$ pour $k \geq 1$ . C'est la loi géométrique de paramètre $p$ .

2.

$P(X=k) = p e^{(k-1)\ln(1-p)} = p \cdot (1-p)^{k-1}$ . Sous forme exponentielle : $\exp(k\ln(1-p) + \ln\frac{p}{1-p})$ . C'est un modèle exponentiel.

3-4.

$L(p) = p^n (1-p)^{\sum x_i - n}$ . $\ell(p) = n\ln p + (\sum x_i - n)\ln(1-p)$ . $\ell'(p) = n/p - (\sum x_i - n)/(1-p) = 0$ .

\boxed{\hat{p}_n = \frac{n}{\sum X_i} = \frac{1}{\bar{X}}}

5.

Par la théorie des EMV dans les familles exponentielles, $\hat{p}_n$ est asymptotiquement normal : $\sqrt{n}(\hat{p}_n - p) \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0, p^2(1-p))$ par la méthode delta appliquée à $g(\bar{X}) = 1/\bar{X}$ .

التمرين 2

Exercice 2 — Loi de Laplace : espérance, variance et intervalle de confiance

#statistics#laplace-distribution#estimation#confidence-interval

Soit $X$ une v.a. de densité $f(x) = \frac{1}{2}e^{-|x-\theta|}$ , $x \in \mathbb{R}$ , où $\theta$ est un paramètre réel inconnu.

Calculer $E_\theta[X]$ et $\text{Var}_\theta[X]$ . En déduire un estimateur $T_n$ de $\theta$ .
Construire un intervalle de confiance de niveau asymptotique 95% pour $\theta$ dans le cas où $\theta$ est inconnu.

◀الحل

1.

$E[X] = \theta$ (par symétrie de la densité autour de $\theta$ ). $\text{Var}(X) = E[(X-\theta)^2] = \int_{-\infty}^\infty t^2 \frac{1}{2}e^{-|t|} dt = 2$ .

\boxed{T_n = \bar{X} \text{ est un estimateur sans biais de } \theta}

2.

Par le TCL : $\sqrt{n}(\bar{X}-\theta)/\sqrt{2} \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$ .

\boxed{\text{IC}_{95\%} = \left[\bar{X} - 1{,}96\sqrt{2/n}, \; \bar{X} + 1{,}96\sqrt{2/n}\right]}

التمرين 3

Exercice 3 — Couple gaussien : marginales, indépendance et conditionnelle

#statistics#bivariate-gaussian#marginal-density#conditional-density

La densité conjointe de $(X, Y)$ est donnée par

f(x,y) = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi} \exp\left[-\frac{3}{2}(x^2 + y^2 - xy)\right], \quad (x,y) \in \mathbb{R}^2.

(3 pts) Trouver les densités marginales $f_X(x)$ et $f_Y(y)$ . (Indication : utiliser les propriétés d'une densité gaussienne).
(2 pts) Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?
(2 pts) Trouver la densité conditionnelle $f_{X/Y}(x/y)$ .

◀الحل

1.

On complète le carré : $x^2 + y^2 - xy = (x - y/2)^2 + 3y^2/4$ .

$f_X(x) = \int f(x,y) dy = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi} e^{-3x^2/2} \int e^{-\frac{3}{2}(y-x/2)^2 \cdot ...}dy$ . Après calcul, $f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$ , donc $X \sim \mathcal{N}(0,1)$ . Par symétrie, $Y \sim \mathcal{N}(0,1)$ .

2.

$f(x,y) \neq f_X(x)f_Y(y)$ à cause du terme $xy$ dans l'exposant. $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes. La corrélation est $\rho = 1/2$ .

3.

$f_{X|Y}(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$ . Après calcul :

\boxed{X | Y=y \sim \mathcal{N}(y/2, 1/3)}

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