مسابقة دكتوراه 2015 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 09

Soient $X,Y$ deux espaces de Banach et $T\in\mathcal{L}(X;Y)$. On dira que $T$ est Cohen $p$-nucléaire, $1<p<\infty$, s’il existe une constante positive $C$ telle que, pour tous $x_1,\ldots,x_n\in X$ et tous $y_1^*,\ldots,y_n^*\in Y^*$,

$$\sum_{i=1}^{n}\lvert\langle T(x_i),y_i^*\rangle\rvert\leq C\sup_{\varphi\in B_{X^*}}\left(\sum_{i=1}^{n}\lvert\langle\varphi,x_i\rangle\rvert^p\right)^{1/p}\sup_{\psi\in B_{Y^{**}}}\left(\sum_{i=1}^{n}\lvert\langle\psi,y_i^*\rangle\rvert^{p^*}\right)^{1/p^*}.$$

On note

$$\mathcal{N}_p(X,Y)=\{T:X\to Y\text{ linéaires Cohen }p\text{-nucléaires}\}$$

et

$$n_p(T)=\inf\{C\text{ vérifiant l’inégalité précédente}\}.$$

Montrer que :

1. si $T\in\mathcal{N}_p(X,Y)$, alors $T$ est continu et $\lVert T\rVert\leq n_p(T)$ ;
2. $\mathcal{N}_p(X,Y)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(X,Y)$ et $n_p$ est une norme sur cet espace ;
3. tout opérateur de rang fini est Cohen $p$-nucléaire ;
4. $\mathcal{N}_p(X,Y)$ est un idéal linéaire ;
5. $n_p(\operatorname{id}_{\mathbb{K}}:\mathbb{K}\to\mathbb{K})=1$ ;
6. s’il existe des probabilités $\mu$ et $\lambda$ sur $B_{X^*}$ et $B_{Y^{**}}$ respectivement et une constante positive $C$ telles que, pour tout $x\in X$ et $y^*\in Y^*$,

$$\lvert\langle T(x),y^*\rangle\rvert\leq C\left(\int_{B_{X^*}}\lvert\langle\varphi,x\rangle\rvert^p\,d\mu(\varphi)\right)^{1/p}\left(\int_{B_{Y^{**}}}\lvert\langle\psi,y^*\rangle\rvert^{p^*}\,d\lambda(\psi)\right)^{1/p^*},$$

alors $T\in\mathcal{N}_p(X,Y)$.

1. Rappeler le théorème de Calderón-Zygmund.

2. Construire une fonction $\omega\in\mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que $\operatorname{supp}\omega=[-1,1]$, $\omega\geq0$ sur $[-1,1]$ et

$$\int_{\mathbb{R}}\omega(x)\,dx=1.$$

3. On pose

$$\chi_\varepsilon(x)=\int_{\lvert z\rvert\leq1}\omega\left(\frac{x-z}{\varepsilon}\right)\frac{dz}{\varepsilon},\qquad x\in\mathbb{R},\quad0<\varepsilon<\frac12.$$

3.1. Prouver que

$$\operatorname{supp}\chi_\varepsilon\subset\{x\in\mathbb{R}:\lvert x\rvert\leq1+\varepsilon\}$$

et que $\chi_\varepsilon(x)=1$ pour tout $x$ tel que $\lvert x\rvert\leq1-\varepsilon$.

3.2. Déduire que

$$\lVert\chi_\varepsilon\rVert_p\leq2^{1/p}(1+\varepsilon)^{1/p},$$

où $\lVert\cdot\rVert_p$ est la norme de $L^p(\mathbb{R})$, $1\leq p<\infty$.

3.3. On suppose que $\lvert h\rvert\leq\varepsilon$. Prouver que

$$\Delta_h^1\chi_\varepsilon(x)=0$$

pour tout

$$x\in\{y\in\mathbb{R}:\lvert y\rvert<1-2\varepsilon\}\cup\{y\in\mathbb{R}:\lvert y\rvert>1+2\varepsilon\},$$

avec $\Delta_h^1\chi_\varepsilon(x)=\chi_\varepsilon(x+h)-\chi_\varepsilon(x)$.

3.4. On suppose que $\varepsilon<\lvert h\rvert\leq\frac12$. Prouver que

$$\Delta_h^1\chi_\varepsilon(x)=0$$

pour tout

$$x\in\{y\in\mathbb{R}:\lvert y\rvert<1-2\lvert h\rvert\}\cup\{y\in\mathbb{R}:\lvert y\rvert>1+2\lvert h\rvert\}.$$