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مسابقة دكتوراه 2015 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 10

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques · المدة: 1سا 30د

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Concours d'accès à la formation de 3ème Cycle LMD — Mathématiques Appliquées (Option Probabilités et Statistique) — Épreuve de Statistique (variante 3), Université Mohamed Khider - Biskra, Faculté des Sciences Exactes et des Sciences de la Nature et de la Vie, Département de Mathématiques — 16/10/2014 — Durée 01h30.

التمرين 1

Exercice 1 — Estimateur linéaire de variance minimale

#statistics#umvue#linear-estimator#minimum-variance

Soit X1,…,XnX_1, \ldots, X_n nn variables aléatoires indépendantes de même loi et de carré intégrable. Trouver l'estimateur de la moyenne, θ=E[X1]\theta = E[X_1], qui soit de variance minimale dans la classe des estimateurs linéaires,

θ^n=∑k=1nakXk,\hat{\theta}_n = \sum_{k=1}^n a_k X_k,

et sans biais.

◀الحل

Sans biais : E[θ^]=θ∑ak=θE[\hat{\theta}] = \theta \sum a_k = \theta, donc ∑ak=1\sum a_k = 1.

Minimiser Var(θ^)=σ2∑ak2\text{Var}(\hat{\theta}) = \sigma^2 \sum a_k^2 sous ∑ak=1\sum a_k = 1. Par Lagrange (ou Cauchy-Schwarz) : le minimum est atteint pour ak=1/na_k = 1/n pour tout kk.

θ^n=Xˉ=1n∑Xi\boxed{\hat{\theta}_n = \bar{X} = \frac{1}{n}\sum X_i}

التمرين 2

Exercice 2 — Intervalles de confiance par simulation

#statistics#confidence-interval#simulation#normal-distribution

On simule à l'ordinateur 1000 échantillons de taille 100 à partir de la loi N(5,1)\mathcal{N}(5, 1). Pour chaque échantillon on calcule l'intervalle I=[Yˉ−0,1,Yˉ+0,1]I = [\bar{Y} - 0{,}1, \bar{Y} + 0{,}1], où Yˉ\bar{Y} est la moyenne de l'échantillon. Approximativement, combien d'intervalles contient la valeur 5 ? Justifier votre réponse.

◀الحل

Yˉ∼N(5,1/100)\bar{Y} \sim \mathcal{N}(5, 1/100), donc Yˉ∼N(5,0,01)\bar{Y} \sim \mathcal{N}(5, 0{,}01).

P(5∈I)=P(∣Yˉ−5∣≤0,1)=P(∣Z∣≤1)=2Φ(1)−1≈0,6827P(5 \in I) = P(|\bar{Y} - 5| \leq 0{,}1) = P(|Z| \leq 1) = 2\Phi(1) - 1 \approx 0{,}6827.

Sur 1000 intervalles :

Environ 683 intervalles contiennent la valeur 5\boxed{\text{Environ } 683 \text{ intervalles contiennent la valeur 5}}

التمرين 3

Exercice 3 — Loi de Pareto : estimateurs des moments et du MV

#statistics#pareto-distribution#method-of-moments#mle#reparametrization

Soit X1,…,XnX_1, \ldots, X_n une suite de variables aléatoires provenant d'une loi de Pareto avec densité

fα(x)={αx0αx−(α+1)x>x00sinon,f_\alpha(x) = \begin{cases} \alpha x_0^\alpha x^{-(\alpha+1)} & x \gt x_0 \\\\ 0 & \text{sinon,} \end{cases}

avec x0>0x_0 \gt 0, α>1\alpha \gt 1.

  1. Calculer l'estimateur des moments α^M\hat{\alpha}_M de α\alpha.
  2. Donner l'estimateur du maximum de vraisemblance α^MV\hat{\alpha}_{MV} de α\alpha.
  3. On décide de changer de paramétrisation en prenant α=1/η\alpha = 1/\eta. La densité s'écrit alors fη(x)=1ηx01/ηx−(1/η+1)f_\eta(x) = \frac{1}{\eta} x_0^{1/\eta} x^{-(1/\eta+1)} pour x>x0x \gt x_0, η<1\eta \lt 1. Calculer l'estimateur du maximum de vraisemblance η^MV\hat{\eta}_{MV}.
  4. Quelle est la relation entre α^MV\hat{\alpha}_{MV} et η^MV\hat{\eta}_{MV} ?
◀الحل

1.

E[X]=αx0α−1E[X] = \frac{\alpha x_0}{\alpha - 1} pour α>1\alpha \gt 1. Donc α^M=XˉXˉ−x0\hat{\alpha}_M = \frac{\bar{X}}{\bar{X} - x_0}.

2.

ℓ(α)=nln⁡α+nαln⁡x0−(α+1)∑ln⁡Xi\ell(\alpha) = n\ln\alpha + n\alpha\ln x_0 - (\alpha+1)\sum \ln X_i. ℓ′(α)=n/α+nln⁡x0−∑ln⁡Xi=0\ell'(\alpha) = n/\alpha + n\ln x_0 - \sum \ln X_i = 0.

α^MV=n∑ln⁡(Xi/x0)\boxed{\hat{\alpha}_{MV} = \frac{n}{\sum \ln(X_i/x_0)}}

3.

En remplaçant α=1/η\alpha = 1/\eta dans la log-vraisemblance et en dérivant par rapport à η\eta :

η^MV=∑ln⁡(Xi/x0)n\boxed{\hat{\eta}_{MV} = \frac{\sum \ln(X_i/x_0)}{n}}

4.

η^MV=1/α^MV\hat{\eta}_{MV} = 1/\hat{\alpha}_{MV}. C'est l'invariance de l'EMV par reparamétrisation.

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