مسابقة دكتوراه 2014 — Université Djilali Liabès - Sidi Bel Abbès

Trouver la solution générale des équations aux dérivées partielles suivantes :

$$u_{xx}-2\sin(x)u_{xy}-\cos^2(x)u_{yy}-\cos(x)u_y=0,$$ $$x^2u_{xx}-2xyu_{xy}+y^2u_{yy}+xu_x+yu_y=0,\qquad x>0.$$

En utilisant les coordonnées polaires et la méthode de séparation des variables de Fourier, déterminer la solution formelle du problème de Laplace :

$$\begin{cases} u_{xx}+u_{yy}=0, & x^2+y^2<a^2,\\ u(x,y)=x^2+y, & x^2+y^2=a^2. \end{cases}$$

On considère le problème de l’équation des ondes amorties par un feedback frontière, où $q:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ est une fonction non linéaire :

$$\begin{cases} u_{tt}-u_{xx}=0, & x\in(0,1),\ t>0,\\ u(0,t)=0, & t>0,\\ u_x(1,t)=-q(u_t(1,t)), & t>0,\\ (u(x,0),u_t(x,0))=(u_0(x),u_1(x)), & x\in(0,1). \end{cases}$$

On définit l’énergie par

$$E(t)=\frac12\int_0^1\left(u_t^2(x,t)+u_x^2(x,t)\right)\,dx.$$

On s’intéresse à la décroissance asymptotique de $E(t)$ lorsque $t\to+\infty$. On suppose que $q$ est continue, croissante et définie sur un voisinage $[-s_0,s_0]$ de $0$ par

$$q(s)=s\lvert s\rvert^{p-1},\qquad p>1.$$

Soit $A_0\in\mathbb{R}$, $A_0\neq0$. On définit la suite réelle $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ par

$$A_{n+1}+A_n=-q(A_{n+1}-A_n).$$

Montrer que $(A_n^2)_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante et en déduire que $A_n\to0$ lorsque $n\to+\infty$.