مسابقة دكتوراه 2015 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 10

On considère le problème d'évolution suivant :

$$\begin{cases} \partial_t u - i\,\partial_{xx}u=0, & x\in\mathbb{R},\ t>0,\\ u(x,0)=\varphi(x), & \varphi\in\mathcal{S}. \end{cases}$$

1. Appliquer la transformée de Fourier pour résoudre le problème.

2. Démontrer que

$$\lVert u(t)\rVert_{L^\infty(\mathbb{R})}\leq \frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\lVert\varphi\rVert_{L^1(\mathbb{R})}.$$

3. Utiliser l'identité de Parseval pour démontrer

$$\lVert u(t)\rVert_{L^2(\mathbb{R})}\leq \lVert\varphi\rVert_{L^2(\mathbb{R})}.$$

On considère le problème d'évolution suivant :

$$\begin{cases} \partial_t u - \partial_{xx}u + u^3=0, & (x,t)\in\,]0,1[\times[0,+\infty[,\\ u(0,t)=u(1,t)=0, & \forall t>0,\\ u(x,0)=g(x), & \forall x\in\,]0,1[. \end{cases}$$

1. Donner une formulation faible de ce problème, en précisant les espaces de $u$ et $\partial_t u$.

2. On note $P(t)=\lVert u(t)\rVert_{L^2(0,1)}^2$ et on veut obtenir des estimations de plus en plus fines pour $P(t)$.

(a) Démontrer que $P'(t)\leq 0$ et déduire que

$$P(t)\leq \lVert g\rVert_{L^2(0,1)}^2,\quad\forall t>0.$$

(b) En utilisant l'inégalité de Poincaré (la constante de Poincaré est $\frac{1}{\pi}$), démontrer que

$$P'(t)\leq -2\pi^2P(t)-2\int_0^1 u^4(t)\,dx$$

et déduire que

$$P(t)\leq P(0)e^{-2\pi^2t}.$$

(c) En utilisant l'inégalité de Hölder pour estimer $\int_0^1 u^4(t)\,dx$, démontrer que

$$P'(t)\leq -2\pi^2P(t)-2P^2(t)\qquad(*)$$

et déduire que

$$P(t)\leq \left(\frac{\pi^2P(0)}{\pi^2+P(0)\left(1-e^{-2\pi^2t}\right)}\right)e^{-2\pi^2t}.$$

Aide : Avec le changement de variable $Z(t)=\frac{1}{P(t)}$, l'EDO $(*)$ devient linéaire.