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مسابقة دكتوراه 2015 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 09

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques · المدة: 1سا 30د

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Concours d'accès à la formation de 3ème Cycle LMD — Mathématiques Appliquées (Option Probabilités et Statistique) — Épreuve de Statistique (variante 2), Université Mohamed Khider - Biskra, Faculté des Sciences Exactes et des Sciences de la Nature et de la Vie, Département de Mathématiques — 16/10/2014 — Durée 01h30.

التمرين 1

Exercice 1 — Moyenne et variance empiriques : biais et estimation de σ²

#statistics#sample-mean#sample-variance#bias#two-sample

A) Soit (X1,…,Xn)(X_1, \ldots, X_n) un échantillon de taille n≥1n \geq 1 d'une population XX d'espérance μ\mu et de variance σ2\sigma^2. On désigne par les moyenne et variance empiriques par

Xˉ=1n∑i=1nXietS2=1n∑i=1n(Xi−Xˉ)2.\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \quad \text{et} \quad S^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2.
  1. Déterminer EXˉE\bar{X}.
  2. Montrer que S2=1n∑(Xi−μ)2−(Xˉ−μ)2S^2 = \frac{1}{n}\sum(X_i - \mu)^2 - (\bar{X} - \mu)^2. Déduire ES2ES^2.

B) On dispose de 2 échantillons de tailles n1n_1 et n2n_2 de 2 populations indépendantes, d'espérances μ1\mu_1 et μ2\mu_2 et de variance commune σ2\sigma^2. Montrer que T=Xˉ1−Xˉ2T = \bar{X}_1 - \bar{X}_2 et V2=n1S12+n2S22n1+n2−2V^2 = \frac{n_1 S_1^2 + n_2 S_2^2}{n_1 + n_2 - 2} sont des estimateurs sans biais de θ=μ1−μ2\theta = \mu_1 - \mu_2 et de σ2\sigma^2 respectivement.

◀الحل

A.1.

EXˉ=μE\bar{X} = \mu.

A.2.

S2=1n∑(Xi−μ+μ−Xˉ)2=1n∑(Xi−μ)2−(Xˉ−μ)2S^2 = \frac{1}{n}\sum(X_i-\mu+\mu-\bar{X})^2 = \frac{1}{n}\sum(X_i-\mu)^2 - (\bar{X}-\mu)^2.

ES2=σ2−σ2/n=n−1nσ2ES^2 = \sigma^2 - \sigma^2/n = \frac{n-1}{n}\sigma^2. Donc S2S^2 est biaisé.

ES2=n−1nσ2\boxed{ES^2 = \frac{n-1}{n}\sigma^2}

B.

ET=μ1−μ2=θET = \mu_1 - \mu_2 = \theta (sans biais). E[niSi2]=(ni−1)σ2E[n_i S_i^2] = (n_i-1)\sigma^2. Donc EV2=(n1−1)+(n2−1)n1+n2−2σ2=σ2EV^2 = \frac{(n_1-1)+(n_2-1)}{n_1+n_2-2}\sigma^2 = \sigma^2.

التمرين 2

Exercice 2 — Loi uniforme : estimateurs des moments et du MV

#statistics#uniform-distribution#method-of-moments#mle#order-statistics

Soit (X1,…,Xn)(X_1, \ldots, X_n) un échantillon, de taille n≥2n \geq 2, d'une population XX de distribution uniforme sur l'intervalle [0,θ][0, \theta], θ>0\theta \gt 0.

  1. Déterminer l'estimateur des moments θ^1\hat{\theta}_1 de θ\theta. Vérifier qu'il est sans biais.
  2. Montrer que l'estimateur du maximum de vraisemblance de θ\theta est T=max⁡1≤i≤nXiT = \max_{1 \leq i \leq n} X_i.
  3. Déterminer la densité de probabilité de TT, puis son espérance. Déduire un deuxième estimateur sans biais θ^2\hat{\theta}_2 de θ\theta.
  4. Calculer les erreurs quadratiques moyennes de θ^1\hat{\theta}_1 et θ^2\hat{\theta}_2. Conclure.
◀الحل

1.

E[X]=θ/2E[X] = \theta/2, donc θ^1=2Xˉ\hat{\theta}_1 = 2\bar{X}. E[θ^1]=2μ=θE[\hat{\theta}_1] = 2\mu = \theta (sans biais).

2.

L(θ)=θ−n∏1[0,θ](Xi)=θ−n1{T≤θ}L(\theta) = \theta^{-n} \prod \mathbf{1}_{[0,\theta]}(X_i) = \theta^{-n} \mathbf{1}_{\{T \leq \theta\}}. LL est décroissante en θ\theta pour θ≥T\theta \geq T, donc θ^MV=T=X(n)\hat{\theta}_{MV} = T = X_{(n)}.

3.

fT(t)=ntn−1θnf_T(t) = \frac{n t^{n-1}}{\theta^n} pour 0≤t≤θ0 \leq t \leq \theta. E[T]=nn+1θE[T] = \frac{n}{n+1}\theta. Estimateur sans biais : θ^2=n+1nT\hat{\theta}_2 = \frac{n+1}{n}T.

4.

EQM(θ^1)=Var(2Xˉ)=4⋅θ2/(12n)=θ2/(3n)\text{EQM}(\hat{\theta}_1) = \text{Var}(2\bar{X}) = 4 \cdot \theta^2/(12n) = \theta^2/(3n).

EQM(θ^2)=Var(θ^2)=θ2n(n+2)\text{EQM}(\hat{\theta}_2) = \text{Var}(\hat{\theta}_2) = \frac{\theta^2}{n(n+2)}.

Comme 1n(n+2)<13n\frac{1}{n(n+2)} \lt \frac{1}{3n} pour n≥2n \geq 2, θ^2\hat{\theta}_2 est meilleur.

θ^2 est plus efficace que θ^1\boxed{\hat{\theta}_2 \text{ est plus efficace que } \hat{\theta}_1}
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