مسابقة دكتوراه 2019 — Université Badji Mokhtar - Annaba — الموضوع 09

Soit $\varphi\in\mathcal{D}$ une fonction test de classe $C^\infty$ à support compact $[a,b]$. Montrer que

$ I_n=\int_a^b\sin(nx)\varphi(x),dx,

et

$
J_n=\int_a^b\cos(nx)\varphi(x)\,dx

tendent vers $0$ lorsque $n\to\infty$. En déduire la limite distributionnelle associée au noyau $\frac{\sin(nx)}{\pi x}$.

Indication :

$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin t}{t}\,dt=\pi. ``$

A. Soit $f\in C^1([a,b])$, avec $0\in[a,b]$. On considère

$ g(x)-\lambda\int_0^xg(t),dt=f(x),

où $g$ est inconnue, continûment dérivable, et $\lambda\neq0$.

1. Montrer que $g$ vérifie une équation différentielle linéaire du premier ordre et la résoudre.
2. En déduire que l’équation intégrale admet une unique solution

$
g(x)=f(x)+\lambda\int_0^xe^{\lambda(x-t)}f(t)\,dt.

B. En déduire que

$ g(x)-\lambda\int_0^xe^{\mu(x-t)}g(t),dt=f(x),

avec $\mu\neq0$, admet une solution unique, que lΓÇÖon calculera. Calculer la solution lorsque

$
f(x)=e^{\mu x}.
``$