مسابقة دكتوراه 2018 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila

On suppose que $y(x,t)$ est la solution du problème à valeurs initiales

$ y_t+cy_x+y=0,\qquad y(x,0)=\varphi(x)\in L^2(\mathbb{R}),\quad c>0,\qquad(*)

telle que $y$ et ses dérivées tendent vers 0 lorsque $|x|\to\infty$.

1. On note $f(t)=\lVert y(t)\rVert_{L^2(\mathbb{R})}^2$. Démontrer que $f$ satisfait l'EDO suivante :

$
f'+2f=0.

2. Déduire que

$ \lVert y(t)\rVert_{L^2(\mathbb{R})}^2=e^{-2t}\lVert\varphi\rVert_{L^2(\mathbb{R})}^2.

3. Utiliser la Transformation de Fourier pour retrouver le dernier résultat.

Aide : Tester $(*)$ par $y$. Utiliser l'égalité de Parseval.

Soit $T>0$, $\beta\in\mathbb{R}$ et $\varepsilon>0$. Soit $u(t,x)\in C^2([0,1]\times[0,T])$ la solution de l'équation d'onde suivante

$ \begin{cases} \varepsilon^2 u_{tt}-u_{xx}=0, & x\in(0,1),\ t\in(0,T),\ u_x(0,t)-u_t(0,t)=0\ \text{ et }\ u_x(1,t)+u_t(1,t)=0, & t\in(0,T),\ u(x,0)=0,\quad u_t(x,0)=\dfrac{\varepsilon^{-\beta}}{1+x^2}, & x\in(0,1), \end{cases}\qquad(**)

où $u_t$ et $u_x$ notent les dérivées en $t$ et $x$.

1. Rappeler les définitions de $H^1(]0,1[)$ et de sa norme.

2. Donner la formulation variationnelle du problème $(**)$.

3. On définit l'énergie de la solution de $(**)$ par

$
E(t)=\frac{1}{2}\int_0^1\varepsilon^2|u_t(t)|^2+|u_x(t)|^2\,dx,\quad t\geq 0.

Démontrer que le signe de $\frac{d}{dt}E(t)$ est négatif.

4. Démontrer l'unicité de la solution.

5. Démontrer que

$ E(0)\leq C\varepsilon^{2(1-\beta)},\quad\text{pour }C\leq\frac{\pi}{8}.

6. Pour quelles conditions sur $\beta$ on peut avoir

$
\sup_{t\in[0,T]}\lVert u_x(t)\rVert_{L^2(0,1)}\to 0,\quad\text{si }\varepsilon\to 0.

Même question pour

$\sup_{t\in[0,T]}\lVert u_t(t)\rVert_{L^2(0,1)}\to 0,\quad\text{si }\varepsilon\to 0. ``$