مسابقة دكتوراه 2021 — Université Badji Mokhtar - Annaba — الموضوع 02

1. Montrer que le système n'a pas de point d'équilibre.
2. Mais possède des solutions périodiques.

Les cercles $r = k\pi$, $k \in \mathbb{N}^*$, sont des orbites périodiques ($\dot{r} = 0$, $\dot{\theta} = 1$) isolées : ce sont les cycles limites.

2) Autour de $r = k\pi$ : pour $k$ impair, $\sin r > 0$ juste en dessous (donc $r$ croît vers $k\pi$) et $\sin r < 0$ juste au-dessus ($r$ décroît vers $k\pi$) : cycle stable. Pour $k$ pair, c'est l'inverse : cycle instable. Les cycles stables sont donc $r = (2m+1)\pi$, $m \in \mathbb{N}$.

pour tout $(x, y) \in \mathbb{R}^2$. La divergence garde un signe strict constant sur le plan (simplement connexe) : d'après le critère de Dulac, le système n'admet aucune solution périodique.