مسابقة دكتوراه 2017 — Source inconnue — الموضوع 02

Appliquer le théorème de Poincaré-Bendixson pour montrer l'existence du cycle limite.

Pour éliminer les termes croisés, il faut $m - 1 = 3$ et $n - 1 = 1$ avec $m = n\, b\, \cdot$ … : choisissons $m = 4$, $n = 2$, puis $4 = 2b$, soit $b = 2$ :

$v$ est définie positive ($v > 0$ hors de l'origine, $v(0,0) = 0$) et $\dot{v} \leq 0$ : le point $(0,0)$ est stable au sens de Lyapunov.

On a même mieux : $\dot{v} = 0 \iff x = 0$, et sur la droite $x = 0$ on a $\dot{x} = y$, donc le seul ensemble invariant contenu dans $\{x = 0\}$ est $\{(0,0)\}$. Par le principe d'invariance de LaSalle, toutes les trajectoires voisines tendent vers l'origine : $(0,0)$ est asymptotiquement stable.

2) La matrice jacobienne du champ $(y - x^3,\, -x^3)$ est

Le système linéarisé est donc $\dot{x} = y$, $\dot{y} = 0$, dont la solution générale est

Pour tout $y_0 \neq 0$ (aussi petit soit-il), $|x(t)| \to +\infty$ : le point $(0,0)$ du système linéarisé est instable (valeur propre double $\lambda = 0$ avec bloc de Jordan non trivial).

Remarque : l'équilibre est non hyperbolique (valeurs propres de partie réelle nulle), donc le théorème de linéarisation ne s'applique pas : la linéarisation est instable alors que le système non linéaire est asymptotiquement stable, d'où la nécessité de la méthode de Lyapunov. $\blacksquare$

de valeurs propres $\lambda_1 = 0$ (direction propre : l'axe des $x$) et $\lambda_2 = -1$ (direction propre : l'axe des $y$) : équilibre non hyperbolique.

Résolution explicite : le système est découplé :

Équation des orbites : pour $x \neq 0$,

Variétés invariantes :

• L'axe des $y$ ($x = 0$) est invariant : c'est la variété stable $W^s(0,0)$, sur laquelle $y(t) = y_0 e^{-t} \to 0$.

• L'axe des $x$ ($y = 0$) est invariant : sur cet axe, $\dot{x} = x^2 > 0$ pour ; les orbites avec tendent vers l'origine, celles avec s'en éloignent (explosion en temps fini ). Il n'y a pas de variété instable ( au sens strict) : l'axe des joue le rôle de (tangente à la direction propre de ).

• Plus généralement, toute courbe de la forme

est une courbe invariante de classe $C^{\infty}$ tangente à l'axe des $x$ en $(0,0)$ (car $C e^{1/x} \to 0$ ainsi que toutes ses dérivées quand $x \to 0^-$) : c'est l'exemple classique de non-unicité de la variété centrale.

Tracé des orbites :

• Demi-plan $x < 0$ : les orbites $y = C e^{1/x}$ convergent vers l'origine quand $t \to +\infty$ ($x(t) \nearrow 0^-$, $y(t) \to 0$), en arrivant tangentiellement à l'axe des $x$.

• Demi-plan $x > 0$ : $x(t)$ croît et explose en temps fini, tandis que $y(t) \to 0$ : les orbites $y = C e^{1/x}$ s'aplatissent vers la valeur puis s'échappent vers la droite en se rapprochant de l'asymptote horizontale (quand , ).

• Sur l'axe des $y$, les orbites descendent (ou montent) vers l'origine.

Le portrait de phase montre donc un équilibre attractif depuis le demi-plan $x \leq 0$ et répulsif dans la direction $x > 0$. $\blacksquare$