مسابقة دكتوراه 2025 — Université Badji Mokhtar - Annaba — الموضوع 01

Soit $(u_n)$ la suite de nombres réels définie par :

$$u_{n+1} = u_n + u_{n-1} \quad \text{et} \quad u_0 = u_1 = 1.$$

1. Montrer que pour tout entier $n \ge 0$ : $u_n \ge n$.

2. Calculer la somme et déduire la nature de la série

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{u_k}{u_{k+1} u_{k-1}}.$$

Déterminer toutes les solutions $y$ de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ indéfiniment dérivables sur $\mathbb{R}$ vérifiant :

$$\forall x \in \mathbb{R}, \quad y'(x) + y(-x) = 0.$$

Soit l'ensemble

$$G = ]0,1[ \cup ]1,+\infty[ = \{x \in \mathbb{R},\, x > 0 \text{ et } x \ne 1\}$$

muni d'une loi $*$ définie par :

$$\forall x, y \in G : x * y = x^{\ln y},$$

où $\ln$ désigne la fonction logarithmique népérienne.

1. Montrer que le couple $(G, *)$ forme un groupe commutatif (ou abélien).

2. En posant $H = ]1, +\infty[$, montrer que $H$ est sous-groupe du groupe $(G, *)$.