مسابقة دكتوراه 2025 — Université Djilali Liabès - Sidi Bel Abbès — الموضوع 01

Modélisation

Chaque mesure s'écrit $X_i=R+\varepsilon_i$ avec $\varepsilon_i\sim\mathcal N(0,\sigma^2)$ i.i.d., donc $X_1,\dots,X_n$ sont i.i.d. $\mathcal N(R,\sigma^2)$, où $R$ et $\sigma^2$ sont inconnus. On cherche un estimateur sans biais de $S=\pi R^2$.

Correction du biais

La moyenne empirique $\bar X=\frac1n\sum_i X_i\sim\mathcal N\!\big(R,\sigma^2/n\big)$ vérifie

$E[\bar X^2]=\text{Var}(\bar X)+\big(E[\bar X]\big)^2=\frac{\sigma^2}{n}+R^2,$

donc $\bar X^2$ surestime $R^2$. La variance empirique corrigée

$S_c^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2,\qquad E[S_c^2]=\sigma^2,$

estime sans biais $\sigma^2$. Par conséquent

$E\!\left[\bar X^2-\frac{S_c^2}{n}\right]=R^2+\frac{\sigma^2}{n}-\frac{\sigma^2}{n}=R^2.$

Estimateur sans biais de la surface

$\boxed{\ \hat S=\pi\left(\bar X^{\,2}-\frac{1}{n(n-1)}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2\right),\qquad E[\hat S]=\pi R^2=S.\ }$

Préliminaire

Le changement de variable $Y=X^2$ donne $P(Y\le y)=P(X\le\sqrt y)=1-e^{-y/2\theta}$, donc $Y=X^2\sim\mathcal E\!\big(\tfrac{1}{2\theta}\big)$, d'espérance $E[X^2]=2\theta$ et de variance $\text{Var}(X^2)=(2\theta)^2=4\theta^2$. De plus

$E[X]=\int_0^\infty x\cdot\frac x\theta e^{-x^2/2\theta}\,dx=\sqrt{\frac{\pi\theta}{2}}.$

1. Estimateur des moments

En égalant $E[X]=\sqrt{\pi\theta/2}$ à $\bar X$ :

$\boxed{\ \hat\theta_{MM}=\frac{2}{\pi}\,\bar X^{\,2}.\ }$

2. Maximum de vraisemblance

$\ell(\theta)=\sum_i\ln x_i-n\ln\theta-\dfrac{1}{2\theta}\sum_i x_i^2$, et $\ell'(\theta)=-\dfrac n\theta+\dfrac{1}{2\theta^2}\sum_i x_i^2=0$ donne

$\boxed{\ \hat\theta_{MV}=\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^n X_i^2.\ }$

3. Sans biais

$E[\hat\theta_{MV}]=\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^n E[X_i^2]=\frac{1}{2n}\cdot n\cdot 2\theta=\theta,$

donc $\hat\theta_{MV}$ est sans biais.

4. Optimalité (n=10)

$\text{Var}(\hat\theta_{MV})=\frac{1}{4n^2}\sum_{i=1}^n\text{Var}(X_i^2)=\frac{1}{4n^2}\,n\,(4\theta^2)=\frac{\theta^2}{n}.$

Information de Fisher : $\partial_\theta^2\ln f=\dfrac{1}{\theta^2}-\dfrac{x^2}{\theta^3}$, d'où $I_1(\theta)=E\!\big[-\partial_\theta^2\ln f\big]=-\dfrac1{\theta^2}+\dfrac{2\theta}{\theta^3}=\dfrac{1}{\theta^2}$ et $I_n(\theta)=\dfrac{n}{\theta^2}$. La borne de Cramér-Rao vaut donc

$\text{BCR}=\frac{1}{I_n(\theta)}=\frac{\theta^2}{n}=\text{Var}(\hat\theta_{MV}).$

L'estimateur atteint la borne : il est efficace, donc de variance minimale parmi les estimateurs sans biais.

$\boxed{\ \text{Non : pour tout } n\ (\text{en particulier } n=10),\ \hat\theta_{MV}\ \text{étant efficace, aucun estimateur sans biais n'a une variance strictement plus petite.}\ }$

Données

$n=200$, $\bar x=332$, $s=108$, donc l'erreur-type $\dfrac{s}{\sqrt n}=\dfrac{108}{\sqrt{200}}\simeq7{,}64$.

1. Test au seuil 1 %

On teste $H_0:\mu=0$ contre $H_1:\mu>0$. La statistique de test est

$Z=\frac{\bar x-0}{s/\sqrt n}=\frac{332}{7{,}64}\simeq43{,}5.$

Comme $Z\simeq43{,}5>z_{0.99}=2{,}33$, on rejette $H_0$ très largement.

$\boxed{\ \text{Oui : au seuil de 1\%, l'offre a généré une augmentation significative du chiffre d'affaires.}\ }$

2. Intervalle de confiance à 99 %

$IC_{99\%}(\mu)=\bar x\pm z_{0.995}\,\frac{s}{\sqrt n}=332\pm2{,}58\times7{,}64=332\pm19{,}7,$

$\boxed{\ IC_{99\%}(\mu)\simeq[\,312{,}3\,;\ 351{,}7\,].\ }$

3. Puissance contre $\mu=150$

La région de rejet s'écrit $\bar X>z_{0.99}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}=2{,}33\times7{,}64\simeq17{,}8$. Sous $\mu=150$ :

$\pi=P_{\mu=150}\!\left(\bar X>17{,}8\right)=\Phi\!\left(\frac{150}{\sigma/\sqrt n}-z_{0.99}\right)=\Phi\!\left(\frac{150}{7{,}64}-2{,}33\right)=\Phi(17{,}3)\simeq1.$

$\boxed{\ \pi\simeq1\ (\text{puissance}\approx100\%).\ }$

4. Taille d'échantillon pour une puissance de 80 %

La condition $\Phi\!\left(\dfrac{\mu_1\sqrt n}{\sigma}-z_{0.99}\right)=0{,}80$ impose $\dfrac{\mu_1\sqrt n}{\sigma}=z_{0.99}+z_{0.80}$, d'où

$n=\frac{(z_{0.99}+z_{0.80})^2\,\sigma^2}{\mu_1^2}=\frac{(2{,}33+0{,}84)^2\times108^2}{150^2}=\frac{(3{,}17)^2\times11664}{22500}\simeq5{,}2.$

$\boxed{\ n=6\ \text{clients (arrondi à l'entier supérieur).}\ }$