مسابقة دكتوراه 2025 — Centre Universitaire Abdelhafid Boussouf - Mila — الموضوع 01

1) Série de Fourier de $f(x)=|\cos x|$. $f$ est paire et $\pi$-périodique : $b_n=0$ et le développement se fait en $\cos(2nx)$. $a_0=\frac{2}{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\,dx=\frac{4}{\pi},\qquad a_n=\frac{2}{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\,\cos(2nx)\,dx=\frac{4}{\pi}\cdot\frac{(-1)^{n+1}}{4n^2-1}.$ D'où, pour tout $x\in\mathbb{R}$ (convergence normale car $\sum \frac{1}{4n^2-1}<+\infty$) : $|\cos x|=\frac{2}{\pi}+\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{4n^2-1}\cos(2nx).$

2) Somme demandée. En évaluant en $x=0$ : $1=\frac{2}{\pi}+\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{4n^2-1}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{4n^2-1}=\frac{\pi-2}{4}}.$

1) Existence et unicité de $x_n$. Posons $f_n(x)=x^n-nx+1$ sur $[0,1]$, pour $n\ge 3$. $f_n(0)=1>0,\qquad f_n(1)=2-n<0,$ et $f_n'(x)=n\big(x^{n-1}-1\big)<0$ sur $[0,1)$ : $f_n$ est strictement décroissante et continue, donc il existe une unique racine $x_n\in(0,1)$.

2) Majoration. De $x_n^{\,n}-n x_n+1=0$ et $0<x_n<1$ on tire : $n x_n=1+x_n^{\,n}\le 2\quad\Longrightarrow\quad 0<x_n\le\frac{2}{n}.$

3) Limite et équivalent. Donc $x_n\xrightarrow[n\to+\infty]{}0$. De plus $0<x_n^{\,n}\le\left(\frac{2}{n}\right)^{n}\to 0$, d'où $n x_n=1+x_n^{\,n}\xrightarrow[n\to+\infty]{}1,\qquad\text{c'est-à-dire}\qquad x_n\sim\frac{1}{n}.$

1) Bonne définition. Pour $x>0$, la fonction $t\mapsto\dfrac{e^{t}}{t}$ est continue sur $[x,2x]\subset(0,+\infty)$, donc $f(x)=\int_{x}^{2x}\frac{e^{t}}{t}\,dt$ est bien définie (de même pour $x<0$, avec $[2x,x]\subset(-\infty,0)$).

2) Dérivabilité et monotonie. Si $F$ est une primitive de $t\mapsto e^{t}/t$, alors $f(x)=F(2x)-F(x)$ et $f'(x)=\frac{2\,e^{2x}}{2x}-\frac{e^{x}}{x}=\frac{e^{2x}-e^{x}}{x}>0\qquad(x\neq 0),$ car $e^{2x}-e^{x}$ a le même signe que $x$. Donc $f$ est strictement croissante.

3) Limite en $0$. En écrivant $e^{t}=1+(e^{t}-1)$ avec $\dfrac{e^{t}-1}{t}$ bornée au voisinage de $0$ : $f(x)=\int_{x}^{2x}\frac{dt}{t}+\int_{x}^{2x}\frac{e^{t}-1}{t}\,dt=\ln 2+O(x)\xrightarrow[x\to 0]{}\ln 2.$ On prolonge donc $f$ par continuité en $0$ en posant $f(0)=\ln 2$.

4) Limites aux bornes.

• Pour $x\to+\infty$ : sur $[x,2x]$, $\dfrac{e^{t}}{t}\ge\dfrac{e^{x}}{2x}$, donc $f(x)\ge x\cdot\dfrac{e^{x}}{2x}=\dfrac{e^{x}}{2}\to+\infty$.
• Pour $x\to-\infty$ : $|f(x)|\le |x|\cdot\dfrac{e^{x}}{|x|}=e^{x}\to 0$, donc $f(x)\to 0$.