مسابقة دكتوراه 2013 — جامعة باتنة 2 — الموضوع 01

Soit $c > 0$. On considère le problème de Cauchy suivant

$$\begin{cases} \partial_t^2 u(t, x) - c^2 \Delta_x u(t, x) = 0 & \text{si } (t, x) \in ]0, \infty[ \times \mathbb{R}^d \\ u(0, x) = f(x), \quad \partial_t u(0, x) = g(x) & \text{si } x \in \mathbb{R}^d \end{cases} \qquad (1)$$

Supposons que $f, g \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^d, \mathbb{C})$.

1. En utilisant la transformée de Fourier partielle par rapport à $x$, prouver que le problème (1) admet une unique solution $u$, donnée par

$$\hat{u}(t, \xi) = \hat{f}(\xi) \cos(c |\xi| t) + \hat{g}(\xi)\, \frac{\sin(c |\xi| t)}{c |\xi|}, \qquad t \in [0, +\infty[, \ \xi \in \mathbb{R}^d \setminus \{0\}. \qquad (2)$$

2. Déduire que $u \in C^\infty([0, \infty[ \times \mathbb{R}^d)$.
3. Prouver que pour tout $\xi \in \mathbb{R}^d$, la solution (2) vérifie

$$(\Re(\partial_t \hat{u}))^2 + c^2 |\xi|^2 (\Re(\hat{u}))^2 = (\Re(\hat{g}))^2 + c^2 |\xi|^2 (\Re(\hat{f}))^2,$$ $$(\Im(\partial_t \hat{u}))^2 + c^2 |\xi|^2 (\Im(\hat{u}))^2 = (\Im(\hat{g}))^2 + c^2 |\xi|^2 (\Im(\hat{f}))^2.$$

4. Soit $s \in \mathbb{R}$. Prouver que pour tout $t \in [0, \infty[$ :

$$\|\partial_t u(t)\|_{H^s}^2 + c^2 \|\nabla_x u(t)\|_{H^s}^2 \leq \|g\|_{H^s}^2 + c^2 \|\nabla_x f\|_{H^s}^2.$$

1. Soit $u \in L^\infty(\mathbb{R})$ et continue en $0$. Prouver que

$$\lim_{n \to \infty} \int_{\mathbb{R}} u(x) \left( \frac{n}{2\pi} \right)^{1/2} e^{-\frac{n x^2}{2}}\, dx = u(0).$$

Indication : Supposer que $u(0) = 0$ et utiliser la continuité de $u$ en $0$ pour découper l'intégrale en deux, l'une portant sur un voisinage de $0$, et l'autre sur l'extérieur de ce voisinage.

2. Soit $\xi \in \mathbb{R}$, on note $(1 + |\xi|^2)^{1/2}$ par $\langle \xi \rangle$. On considère une fonction $f \in L^2(\mathbb{R})$, $f \geq 0$, telle que $\langle \xi \rangle^{-1} f \notin L^1(\mathbb{R})$. On pose

$$u = \mathcal{F}^{-1}\left( \langle \xi \rangle^{-1} f \right),$$

où $\mathcal{F}$ désigne l'opérateur de Fourier au sens des distributions tempérées.

2.1 Prouver que $u \in H^{1/2}(\mathbb{R})$. 2.2 Définissons la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$ comme suit :

$$I_n = \int_{\mathbb{R}} u(x) \left( \frac{n}{2\pi} \right)^{1/2} e^{-\frac{n x^2}{2}}\, dx.$$

(2.2.i) Prouver que pour tout $n \in \mathbb{N}$

$$I_n = \int_{\mathbb{R}} \hat{u}(\xi)\, e^{-\frac{\xi^2}{2n}}\, d\xi.$$

(2.2.ii) En utilisant le lemme de Fatou, prouver que $\lim_{n \to \infty} I_n = +\infty$.

3. En déduire que $H^{1/2}(\mathbb{R})$ n'est pas contenu dans $L^\infty(\mathbb{R})$.

Notations : $\Delta_x = \sum_{i=1}^{d} \frac{\partial^2}{\partial x_i^2}$ ; $\Re$ : partie réelle ; $\Im$ : partie imaginaire ; $\mathcal{F}$ : la transformée de Fourier ; $|\cdot|$ : la norme euclidienne.