مسابقة دكتوراه 2013 — Université Frères Mentouri - Constantine 1 — الموضوع 01

مسابقة تخصص · EDP

Concours d'accès au Doctorat : Equations Différentielles, Université Constantine 1, Faculté des Sciences Exactes, Département de Mathématiques, 19/10/2013, Épreuve 1.

التمرين 1

Type d'une EDP du second ordre dégénérée

#pde#classification#characteristics

Déterminer le type de l'équation $y\,\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2u}{\partial y^2}=0.$

◀الحل

Les coefficients principaux sont $A=y$ , $B=0$ , $C=1$ . Le discriminant est $B^2-AC=-y$ . Ainsi l'équation est elliptique dans le demi-plan $y>0$ (équation de type Laplace), parabolique sur la droite $y=0$ , et hyperbolique dans $y<0$ . C'est une équation de type mixte (analogue à l'équation de Tricomi).

التمرين 3

Inclusion des espaces Lp sur un espace de mesure finie

#lp-spaces#holder-inequality#measure-theory

Soit $(\Omega,\Sigma,\mu)$ un espace mesuré avec $\mu(\Omega)<\infty$ et $1\le p<q<+\infty$ . 1) Montrer que $\|f\|_p\le\mu(\Omega)^{\frac1p-\frac1q}\|f\|_q$ . 2) Que peut-on déduire de cette relation ?

◀الحل

1) Appliquons l'inégalité de Hölder à $|f|^p\cdot1$ avec les exposants conjugués $r=q/p>1$ et $r'=q/(q-p)$ : $\int|f|^p\,d\mu\le\big(\int|f|^{p\cdot q/p}\big)^{p/q}\big(\int1^{r'}\big)^{1/r'}=\|f\|_q^p\,\mu(\Omega)^{1-p/q}$ . En élevant à la puissance $1/p$ : $\|f\|_p\le\mu(\Omega)^{\frac1p-\frac1q}\|f\|_q$ .

2) On en déduit l'inclusion continue $L^q(\Omega)\subset L^p(\Omega)$ lorsque $\mu(\Omega)<\infty$ : toute fonction de $L^q$ est dans $L^p$ pour $p\le q$ .

التمرين 4

Problème de Cauchy avec Dirac résolu par transformée de Laplace

#laplace-transform#ode#dirac-delta#initial-value-problem

Résoudre par la transformation de Laplace $\mathcal L$ le problème $(P)$ : $y''+4y'+3y=\delta(t)$ , $y(0)=0$ , $y'(0)=0$ , où $\delta$ est la mesure de Dirac et $\mathcal L[f](s)=\int_0^{+\infty}e^{-st}f(t)dt$ .

◀الحل

En transformant : $(s^2+4s+3)Y(s)=1$ , donc $Y(s)=\dfrac1{(s+1)(s+3)}=\dfrac12\Big(\dfrac1{s+1}-\dfrac1{s+3}\Big)$ . Par transformée inverse, $y(t)=\tfrac12(e^{-t}-e^{-3t})$ pour $t\ge0$ (et $0$ pour $t<0$ ). C'est la réponse impulsionnelle du système.

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