مسابقة دكتوراه 2013 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 01

مسابقة عامة · الرياضيات

Concours d'entrée à l'école doctorale EDP et Applications, Première épreuve, USTHB, Faculté de Mathématiques — 23 octobre 2013 (Durée : deux heures).

التمرين 1

Exercice 1 — Normes matricielles et différentiabilité

#matrix-norms#submultiplicativity#differentiability#operator-norm

Soit $E = \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ l'espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ des matrices carrées d'ordre $n$ . Soit $\|.\|$ une norme sur $\mathbb{R}^n$ .

Montrer que l'application

N : E \to \mathbb{R}_+, \quad M \mapsto N(M) = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Mx\|}{\|x\|}

définit une norme sur $E$ .

Montrer que $N(M_1 M_2) \leq N(M_1) N(M_2)$ .
Montrer que l'application

\Phi : E \to E, \quad M \mapsto M^3

est différentiable et donner la forme précise de la différentielle de $\Phi$ en un point $M$ .

◀الحل

1.

$N(M) = 0 \Rightarrow \|Mx\| = 0$ pour tout $x \neq 0$ , donc $Mx = 0$ pour tout $x$ , donc $M = 0$ .
$N(\lambda M) = |\lambda| N(M)$ (homogénéité).
$N(M_1+M_2) \leq N(M_1)+N(M_2)$ par l'inégalité triangulaire sur $\|.\|$ .

\boxed{N \text{ est une norme sur } E}

2.

$\|M_1 M_2 x\| \leq N(M_1) \|M_2 x\| \leq N(M_1) N(M_2) \|x\|$ , donc $N(M_1 M_2) \leq N(M_1) N(M_2)$ .

\boxed{N(M_1 M_2) \leq N(M_1) N(M_2)}

3.

$\Phi(M+H) = (M+H)^3 = M^3 + M^2 H + MHM + HM^2 + O(\|H\|^2)$ . La différentielle est $D\Phi(M) \cdot H = M^2 H + MHM + HM^2$ .

\boxed{D\Phi(M) \cdot H = M^2 H + MHM + HM^2}

التمرين 2

Exercice 2 — Coefficients de Fourier et noyau de Poisson

#fourier-series#poisson-kernel#complex-series#harmonic-analysis

Étant donnée une fonction $f$ continue et périodique de période $2\pi$ , on appelle coefficients de Fourier de $f$ , les nombres

\hat{f}(n) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx}\,dx, \quad n \in \mathbb{Z}

Étant donnée une suite $(\alpha_n)_{n \in \mathbb{Z}}$ , on dit que la série $\sum_{n \in \mathbb{Z}} \alpha_n$ est convergente si les séries $\sum_{n \geq 0} \alpha_n$ et $\sum_{n \geq 1} \alpha_{-n}$ le sont.

Dire pour quelles valeurs du couple $(t,x) \in \mathbb{R}^2$ , la série $\sum_{n \in \mathbb{Z}} e^{-|n|t} e^{inx}$ est convergente.
On suppose maintenant $t \gt 0$ et on définit sur $\mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R}$ la fonction $P$ par

P(t,x) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} e^{-|n|t} e^{inx}

a. Vérifier que $P(t,x)$ est réelle et calculer $\int_{-\pi}^{\pi} P(t,x)\,dx$ . b. Vérifier que la fonction $P$ est indéfiniment dérivable. c. Calculer $\frac{\partial^2 P}{\partial t^2} + \frac{\partial^2 P}{\partial x^2}$ .

Calculer les coefficients de Fourier de la fonction $P$ .

◀الحل

1.

La série $\sum e^{-|n|t+inx}$ converge absolument si et seulement si $t \gt 0$ (pour tout $x$ ). Pour $t = 0$ , elle diverge sauf en $x = 0$ . Pour $t \lt 0$ , elle diverge.

\boxed{\text{Convergence pour } t \gt 0, \; \forall x \in \mathbb{R}}

2.a.

$P(t,x) = 1 + \sum_{n \geq 1}(e^{-nt+inx} + e^{-nt-inx}) = 1 + 2\sum_{n \geq 1} e^{-nt}\cos(nx)$ , qui est réelle. En intégrant : $\int_{-\pi}^{\pi} P(t,x)dx = 2\pi$ (seul le terme $n=0$ contribue).

\boxed{P \text{ est réelle, } \int_{-\pi}^{\pi} P(t,x)\,dx = 2\pi}

2.b.

Pour $t \gt 0$ , les dérivées partielles de chaque terme sont majorées par $|n|^k e^{-|n|t}$ , série convergente. Par convergence uniforme des séries dérivées, $P$ est $C^\infty$ .

2.c.

$\frac{\partial^2 P}{\partial t^2} = \sum n^2 e^{-|n|t+inx}$ et $\frac{\partial^2 P}{\partial x^2} = -\sum n^2 e^{-|n|t+inx}$ . Donc la somme est nulle : $P$ est harmonique.

\boxed{\frac{\partial^2 P}{\partial t^2} + \frac{\partial^2 P}{\partial x^2} = 0}

3.

Par identification directe : $\hat{P}(n) = e^{-|n|t}$ .

\boxed{\hat{P}(n) = e^{-|n|t}}

التمرين 3

Exercice 3 — Mesure de Lebesgue et convergence dominée

#lebesgue-measure#dominated-convergence#uniform-convergence#integration

A) Soit $f$ dans l'espace de Lebesgue $\mathcal{L}^1(\mathbb{R})$ .

Soit $E = \{x \in \mathbb{R} : |\sin x| = 1\}$ . Évaluer la mesure de Lebesgue de $E$ .
Calculer

\lim_{n \to +\infty} \int_{\mathbb{R}} f(x)(\sin x)^n\,dx

B) Soit $\alpha \geq 0$ . Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{R}$ on pose :

f_{n,\alpha}(x) = \frac{e^{-\alpha|x|}}{n} I_{[0,n^2]}(x)

où $I_{[0,n^2]}$ est la fonction indicatrice de l'intervalle $[0, n^2]$ .

Montrer que la suite $(f_{n,\alpha})_{n \geq 1}$ tend vers $0$ uniformément sur $\mathbb{R}$ lorsque $n \to +\infty$ .
Étudier la limite suivante :

\lim_{n \to +\infty} \int_{\mathbb{R}} f_{n,\alpha}(x)\,dx

pour $\alpha = 0$ et $\alpha = 1$ . Que peut-on en conclure ?

◀الحل

A.1.

$E = \{x : |\sin x| = 1\} = \{\frac{\pi}{2} + k\pi : k \in \mathbb{Z}\}$ . C'est un ensemble dénombrable, donc de mesure de Lebesgue nulle.

\boxed{\lambda(E) = 0}

A.2.

Pour $x \notin E$ (p.p.), $(\sin x)^n \to 0$ . On a $|f(x)(\sin x)^n| \leq |f(x)| \in L^1$ . Par convergence dominée :

\boxed{\lim_{n \to \infty} \int_{\mathbb{R}} f(x)(\sin x)^n\,dx = 0}

B.1.

$\sup_{x \in \mathbb{R}} |f_{n,\alpha}(x)| \leq \frac{1}{n} \sup_{x \geq 0} e^{-\alpha x} = \frac{1}{n} \to 0$ .

\boxed{f_{n,\alpha} \to 0 \text{ uniformément}}

B.2.

Pour $\alpha = 0$ : $\int f_{n,0} = \frac{1}{n} \cdot n^2 = n \to +\infty$ .

Pour $\alpha = 1$ : $\int f_{n,1} = \frac{1}{n}\int_0^{n^2} e^{-x}dx = \frac{1-e^{-n^2}}{n} \to 0$ .

Conclusion : la convergence uniforme vers 0 n'implique pas la convergence des intégrales vers 0 (contre-exemple $\alpha = 0$ ). Il faut une hypothèse de domination ( $\alpha = 1$ ).

\boxed{\alpha = 0 : \text{diverge} ; \quad \alpha = 1 : \text{converge vers } 0}

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