مسابقة دكتوراه 2013 — Université Badji Mokhtar - Annaba — الموضوع 01

Soit $N_j$ le nombre de sinistres causés par un assuré pendant l'année $j$. Conditionnellement à $\Theta = \theta$, les $N_j$ sont supposées i.i.d. de loi de Poisson de paramètre $\theta$, i.e.

$$P[N_j = k \mid \Theta = \theta] = e^{-\theta}\frac{\theta^k}{k!}, \quad \text{pour } k \in \mathbb{N}.$$

La distribution a priori de $\Theta$ est une loi Gamma de paramètres $a$ et $b$, i.e. de densité

$$f(\theta) = \frac{b^a}{\Gamma(a)}\theta^{a-1}e^{-b\theta}, \quad \text{pour } \theta \geq 0.$$

Les montants de sinistres sont constants égaux à 1.

1. Quelle prime pure réclameriez-vous à un nouvel assuré ?
2. Montrez que les familles des lois de Poisson et des lois Gamma sont conjuguées. Qu'en déduisez-vous sur l'intérêt de ce modèle dans la cadre de la révision des primes ?
3. Donnez la densité a posteriori de $\Theta$ pour un assuré qui a causé $k_1, \ldots, k_n$ sinistres durant les $n$ premières années. Déduisez-en la prime de Bayes pour la $(n+1)$-ème année.
4. Donnez la prime de Bühlmann pour la $(n+1)$-ème année pour un assuré qui a causé $k_1, \ldots, k_n$ sinistres durant les $n$ premières années. Commentez.

$\textbf{Aide :}$ Si $Y \sim \text{Gamma}(a, b)$, alors $E[Y] = \dfrac{a}{b}$ et $\mathrm{Var}[Y] = \dfrac{a}{b^2}$.