مسابقة دكتوراه 2013 — Université Abdelhamid Ibn Badis - Mostaganem — الموضوع 01

مسابقة تخصص · Analyse Numérique & Optimisation · المدة: 1سا 30د

Épreuve Écrite du Concours d'Accès en 3ème Cycle LMD, Option : Modélisation, simulations et calculs scientifiques appliqués, Épreuve 1 : Méthodes numériques et Équations différentielles, Université Abdel Hamid Ibn Badis Mostaganem, Faculté des Sciences et de la Technologie — Mardi 22 Octobre 2013 (Durée 1h30).

التمرين 1

Exercice 1 — Problème aux valeurs initiales et schéma d'Euler

#ode-bvp#euler-method#matrix-system#numerical-error

On considère le problème de valeurs aux limites suivante (de solution $y(t) = 3e^{-2t}\cos(t) + e^{-2t}\sin(t)$ ) :

(1) \begin{cases} y''(x) + 4y'(x) + 5y(x) = 0 & \text{sur } [0,1] \\ y(0) = 3 \\ y'(0) = -5 \end{cases}

Écriture du problème sous forme matricielle : Réécrire l'équation différentielle précédente sous la forme d'une équation différentielle d'ordre 1, et de façon matricielle $Y'(x) = P \times Y(x)$ , $Y(0) = Y_0$ .
Utilisant le schéma suivant $Y_{n+1} = Y_n + hf(x_n, Y_n)$ , donner une approximation de la solution de (1), pour un pas $h = 0.2$ .
Calculer l'erreur commise par ce schéma.

◀الحل

1.

On pose $Y = \begin{pmatrix} y \\ y' \end{pmatrix}$ . Alors $Y' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -5 & -4 \end{pmatrix} Y$ , $Y(0) = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}$ .

\boxed{P = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -5 & -4 \end{pmatrix}, \quad Y_0 = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}}

2.

Avec $h = 0.2$ et le schéma d'Euler explicite $Y_{n+1} = Y_n + hPY_n = (I + hP)Y_n$ : $I + hP = \begin{pmatrix} 1 & 0.2 \\ -1 & 0.2 \end{pmatrix}$ . $Y_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0.2 \\ -1 & 0.2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$ . On continue pour $Y_2, Y_3, Y_4, Y_5$ .

3.

L'erreur est la différence entre la solution exacte $y(x_n) = 3e^{-2x_n}\cos(x_n) + e^{-2x_n}\sin(x_n)$ et l'approximation. Le schéma d'Euler est d'ordre 1, donc l'erreur globale est $O(h)$ .

\boxed{\text{Erreur globale } O(h) = O(0.2)}

التمرين 3

Exercice 3 — Décomposition LU et résolution de systèmes linéaires

#lu-decomposition#linear-systems#matrix-factorization

Réaliser la décomposition LU de la matrice

A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -3 & 0 \\ 1 & 1 & 3 & 8 \\ -2 & 2 & -5 & -1 \\ 3 & 1 & 8 & 13 \end{pmatrix}

En déduire la solution du système linéaire $Ax = b$ avec $b = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}$ .
Sans calculer $A^2$ , résoudre le système linéaire $A^2 x = b$ .

◀الحل

1.

Par élimination de Gauss :

L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ -3 & 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -3 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}

\boxed{A = LU}

2.

Résoudre $Ly = b$ (descente) puis $Ux = y$ (remontée) pour obtenir $x$ .

3.

$A^2 x = b \Rightarrow A(Ax) = b$ . Poser $z = Ax$ . Résoudre $Az = b$ pour trouver $z$ , puis $Ax = z$ pour trouver $x$ . On utilise la même décomposition LU deux fois.

\boxed{\text{Deux résolutions successives avec la même décomposition LU}}

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