مسابقة دكتوراه 2013 — Université Mohammed Seddik Benyahia - Jijel — الموضوع 01

مسابقة عامة · الرياضيات

FB_IMG_1529450638730.pdf, concours du 26 octobre 2013, épreuve obligatoire

التمرين 1

Intégrabilité de Riemann et de Lebesgue

#intégration#Riemann#Lebesgue

On sait que toute fonction réelle Riemann-intégrable est Lebesgue-intégrable. Donner un contre-exemple montrant que la réciproque est fausse.

◀الحل

Prendre la fonction de Dirichlet $f=\mathbf{1}_{\mathbb{Q}\cap[0,1]}$ . Elle est Lebesgue-intégrable et

\int_0^1f(x)\,dx=0,

car $\mathbb{Q}$ est de mesure nulle. Elle n'est Riemann-intégrable sur aucun intervalle, puisqu'elle est discontinue en tout point.

التمرين 1

Primitive d'une fonction Lp et comportement à l'infini

#Lp#Hölder#convergence dominée

Soit $f\in L^p(\mathbb{R})$ avec $1<p<+\infty$ . Pour $x>0$ , on pose

F(x)=\int_0^x f(t)\,dt.

Vérifier que $F$ est bien définie et montrer, à l'aide de l'inégalité de Hölder, que

\lim_{x\to0^+}\frac{F(x)}{x^{1/q}}=0, \qquad \frac1p+\frac1q=1.

Pour $g_n(t)=\mathbf{1}_{[n,+\infty)}(t)|f(t)|^p$ , utiliser le théorème de convergence dominée pour montrer que

\lim_{n\to+\infty}\int_n^{+\infty}|f(t)|^p\,dt=0.

◀الحل

Par Hölder,

|F(x)|\le x^{1/q}\left(\int_0^x|f(t)|^pdt\right)^{1/p}.

L'intégrale tend vers $0$ lorsque $x\to0^+$ , ce qui donne la première limite. Ensuite $g_n\to0$ presque partout et $0\le g_n\le|f|^p\in L^1$ . La convergence dominée donne la seconde limite.

التمرين 2

Inversion dans un groupe et groupes d'exposant deux

#groupes#automorphisme#groupes abéliens

Soit $G$ un groupe et $f:G\to G$ définie par $f(x)=x^{-1}$ .

Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $f\in\operatorname{Aut}(G)$ .
On suppose que $x^2=e$ pour tout $x\in G$ .

a. Montrer que $G$ est abélien. b. Montrer que $G$ possède un sous-groupe d'ordre $2$ . c. Pour $a\in G$ et un sous-groupe $H$ d'ordre $2$ , montrer que $H\cap aH=\varnothing$ ou $H=aH$ , et que $H\cup aH$ est un sous-groupe. d. En déduire que, si $G$ est fini, alors $|G|=2^n$ pour un certain $n\in\mathbb{N}$ .

◀الحل

On a $f(xy)=y^{-1}x^{-1}$ . Ainsi $f$ est un homomorphisme exactement lorsque $xy=yx$ pour tous $x,y$ , donc lorsque $G$ est abélien. Si $x^2=e$ , alors $x=x^{-1}$ et

xy=(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}=yx.

Tout élément $a\ne e$ engendre $\{e,a\}$ , d'ordre $2$ . Les classes à gauche de $H$ sont égales ou disjointes. En itérant la construction, un groupe fini d'exposant $2$ est un espace vectoriel fini sur $\mathbb{F}_2$ , donc son ordre est $2^n$ .

التمرين 2

Continuité de la forme d'évaluation selon la norme

#analyse fonctionnelle#forme linéaire#normes

Soit $E=C([0,1],\mathbb{R})$ et $A:E\to\mathbb{R}$ définie par $A(f)=f(0)$ .

Pour la norme uniforme

\|f\|_\infty=\sup_{x\in[0,1]}|f(x)|,

montrer que $A$ est continue et calculer $\|A\|$ .

Pour la norme

\|f\|_1=\int_0^1|f(t)|\,dt,

montrer que $A$ n'est pas continue.

En déduire que $E$ n'est pas de dimension finie.

◀الحل

On a $|A(f)|=|f(0)|\le\|f\|_\infty$ , donc $\|A\|\le1$ , et l'égalité est atteinte avec $f\equiv1$ . Pour la norme $L^1$ , prendre

f_n(t)= \begin{cases} 2n(1-nt),&0\le t\le1/n,\\ 0,&1/n<t\le1. \end{cases}

Alors $A(f_n)=2n$ tandis que $\|f_n\|_1=1$ , donc $A$ n'est pas bornée. En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes, contradiction.

التمرين 3

Calcul d'une intégrale par les résidus

#analyse complexe#résidus#intégrale

Calculer par la méthode des résidus l'intégrale

\int_{|z-i|=2}\frac{e^{z^2}-1}{z^3-z^2}\,dz.

◀الحل

On factorise le dénominateur : $z^3-z^2=z^2(z-1)$ . Les singularités sont $0$ et $1$ , toutes deux à l'intérieur du cercle $|z-i|=2$ . On calcule les résidus en $0$ et $1$ , puis

\int_{|z-i|=2}\frac{e^{z^2}-1}{z^2(z-1)}\,dz =2\pi i\left(\operatorname{Res}_{z=0}+ \operatorname{Res}_{z=1}\right).

Le développement $e^{z^2}-1=z^2+O(z^4)$ montre que la singularité en $0$ est supprimable et son résidu est nul. En $1$ ,

\operatorname{Res}_{z=1}=e-1.

Donc l'intégrale vaut $2\pi i(e-1)$ .

التمرين 3

Résidu d'une dérivée logarithmique

#résidus#fonction holomorphe#pôle

Soient $f$ et $g$ deux fonctions entières et

H(z)=g(z)\frac{f'(z)}{f(z)}.

On suppose que $f$ possède un unique zéro simple en $z=2$ et que $g(2)\ne0$ .

Déterminer la nature de la singularité de $H$ en $z=2$ .
Calculer $\operatorname{Res}_{z=2}H(z)$ .

◀الحل

Comme le zéro de $f$ est simple, $f(z)=(z-2)h(z)$ avec $h(2)\ne0$ . Alors

\frac{f'(z)}{f(z)}=\frac1{z-2}+\frac{h'(z)}{h(z)}.

Ainsi $H$ a un pôle simple en $2$ et

\operatorname{Res}_{z=2}H(z)=g(2).

التمرين 4

Somme d'un compact et d'un fermé

#topologie#compact#fermé

Soit $E$ un espace vectoriel normé réel et soient $A,B\subset E$ .

Montrer que si $A$ est compact et $B$ fermé, alors $A+B$ est fermé.
Si $A$ et $B$ sont fermés, $A+B$ est-il nécessairement fermé ?

◀الحل

Soit $x_n=a_n+b_n\to x$ avec $a_n\in A$ , $b_n\in B$ . Par compacité, une sous-suite $a_{n_k}$ converge vers $a\in A$ . Alors $b_{n_k}=x_{n_k}-a_{n_k}\to x-a\in B$ , car $B$ est fermé. Donc $x\in A+B$ . En dimension infinie, la somme de deux sous-espaces fermés peut ne pas être fermée, donc la seconde assertion est fausse en général.

التمرين 4

Endomorphisme nilpotent, trace et diagonalisation

#algèbre linéaire#nilpotent#trace

Soit $E$ un espace vectoriel complexe de dimension $n$ et $T\in\mathcal{L}(E)$ . On suppose qu'il existe $k_0\ge1$ tel que $T^{k_0}=0$ .

Déterminer les valeurs propres de $T$ .
Montrer que $\operatorname{tr}(T^k)=0$ pour tout $k\ge1$ .
Si $T\ne0$ , peut-il être diagonalisable ?

◀الحل

Si $T v=\lambda v$ avec $v\ne0$ , alors $0=T^{k_0}v=\lambda^{k_0}v$ , donc $\lambda=0$ . Toutes les valeurs propres de $T^k$ sont donc nulles, d'où $\operatorname{tr}(T^k)=0$ . Un endomorphisme nilpotent diagonalisable est diagonal avec uniquement des zéros, donc il est nul. Ainsi un nilpotent non nul n'est pas diagonalisable.

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