مسابقة دكتوراه 2021 — جامعة باتنة 2 — الموضوع 01

Soit $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ un ouvert borné de $\mathbb{R}^n$ à frontière régulière $\partial\Omega$ et soit l'équation d'évolution :

$$\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial t} - d_1 \Delta u = f(u) + a^2 u \cos u & \text{si } t > 0, \ x \in \Omega, \\ u(x, 0) = u_0(x) & \text{si } x \in \Omega, \\ \dfrac{\partial u}{\partial \eta} = 0 & \text{si } t > 0, \ x \in \partial\Omega, \end{cases} \qquad (P)$$

où $d_1 > 0$, $a \in \mathbb{R}$, $f$ est une fonction appartenant à $C^1(\mathbb{R}, \mathbb{R}^+)$, $u_0$ une fonction positive appartenant à $C(\overline{\Omega})$ et $\frac{\partial}{\partial \eta}$ représente la dérivée normale sur $\partial\Omega$. On admet l'existence locale et l'unicité sur un intervalle $(0, T)$ de solutions classiques de (P). On admet aussi que $u(t, x) \geq 0$ pour tout $(t, x) \in (0, T) \times \Omega$.

Les parties I, II et III sont indépendantes.

Partie I. On suppose que

$$f(u) = \frac{u}{1 + u^2}.$$

(I.1) Montrer que $\forall p \geq 2$, il existe $C(p, t) > 0$ tel que

$$\int_{\Omega} u^p(t, x)\, dx \leq C(p, t)\, \|u_0\|_{L^{\infty}(\Omega)}^{p}, \quad \forall t \in (0, T). \qquad (2)$$

(I.2) En déduire qu'il existe $K(t) > 0$ tel que

$$\|u(t, \cdot)\|_{L^{\infty}(\Omega)} \leq K(t)\, \|u_0\|_{L^{\infty}(\Omega)}, \quad \forall t \in (0, T). \qquad (3)$$

Partie II. On suppose que

$$a = 0, \qquad f(u) = 3u.$$

(II.1) En utilisant l'inégalité d'interpolation

$$\|v\|_{L^2(\Omega)} \leq L\, \|v\|_{W^{1,2}(\Omega)}^{\theta}\, \|v\|_{L^1(\Omega)}^{1 - \theta}, \quad L > 0, \quad \theta = \frac{n}{n + 2}, \quad \forall v \in W^{1,2}(\Omega),$$

déduire que pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $C(\varepsilon) > 0$ tel que

$$\|v\|_{L^2(\Omega)}^2 \leq \varepsilon \|v\|_{W^{1,2}(\Omega)}^2 + C(\varepsilon)\, \|v\|_{L^1(\Omega)}^2.$$

(II.2) Montrer qu'il existe une constante $\gamma > 0$ telle que pour tout $t \in (0, T)$, la solution $u$ vérifie

$$\int_{\Omega} u^2(t, x)\, dx \leq \int_{\Omega} u_0^2(x)\, dx + \gamma \int_0^t \left( \int_{\Omega} u(\tau, x)\, dx \right)^2 d\tau.$$

Partie III. On suppose que $a = 0$ et qu'il existe deux constantes $C > 0$ et $A > 0$ telles que

$$f(u) \leq C u, \quad \text{pour } u > A.$$

(III.1) Montrer qu'il existe $M(T) > 0$ tel que

$$\|u(t, \cdot)\|_{L^2(\Omega)} \leq M(T), \quad \forall t \in (0, T). \qquad (6)$$

Notations.

• Fixons $n \in \mathbb{N}$, $n \geq 2$. On désigne par $\mathscr{D}(\mathbb{R}^n)$ l'espace des fonctions $\varphi : \mathbb{R}^n \to \mathbb{C}$ de classe $\mathscr{C}^{\infty}$ dans $\mathbb{R}^n$ à support compact.
• On considère l'ouvert $\mathbb{R}^n_+ := \{ x = (x', x_n) \in \mathbb{R}^{n-1} \times \mathbb{R} : x_n > 0 \}$. Le bord de l'ouvert $\mathbb{R}^n_+$ est identifié à $\mathbb{R}^{n-1}$.
• On désigne par $\mathscr{D}(\overline{\mathbb{R}^n_+})$ l'espace des fonctions restrictions à $\overline{\mathbb{R}^n_+}$ de fonctions appartenant à $\mathscr{D}(\mathbb{R}^n)$.
• L'opérateur de Fourier utilisé est défini par

$$\mathscr{F}_m(\varphi)(\xi) = \hat{\varphi}(\xi) := \int_{\mathbb{R}^m} e^{-2 i \pi \langle x, \xi \rangle}\, \varphi(x)\, dx, \quad \xi \in \mathbb{R}^m,$$

pour $\varphi \in \mathscr{D}(\mathbb{R}^m)$. L'indice $m$ indique la dimension de l'espace $\mathbb{R}^m$.

(1) Soit $\varphi \in \mathscr{D}(\mathbb{R}^n)$. On désigne par $\gamma_0$ l'opérateur de trace

$$\gamma_0 : \varphi \mapsto \gamma_0 \varphi,$$

où pour $x = (x', x_n) \in \mathbb{R}^{n-1} \times \mathbb{R}$, $\ \gamma_0 \varphi(x') = \varphi(x', 0)$. De même on désigne par $\gamma_1$ l'opérateur de trace

$$\gamma_1 : \varphi \mapsto \gamma_1 \varphi = \gamma_0 \circ \partial_{x_n} \varphi,$$

où pour $x = (x', x_n) \in \mathbb{R}^{n-1} \times \mathbb{R}$, $\ \gamma_1 \varphi(x') = (\partial_{x_n} \varphi)(x', 0)$. (2) Prouver que $\gamma_0$ et $\gamma_1$ définissent deux opérateurs linéaires séquentiellement continus de $\mathscr{D}(\mathbb{R}^n)$ dans $\mathscr{D}(\mathbb{R}^{n-1})$. (3) Prouver que pour tout $\varphi \in \mathscr{D}(\mathbb{R}^n_+)$, et pour tout $\xi' \in \mathbb{R}^{n-1}$,

$$\mathscr{F}_{n-1}(\gamma_0 \varphi)(\xi') = \int_{\mathbb{R}} \mathscr{F}_n(\varphi)(\xi', \xi_n)\, d\xi_n.$$

(4) Munissons l'espace $\mathscr{D}(\overline{\mathbb{R}^n_+})$ de la topologie induite par l'espace de Sobolev $H^2(\mathbb{R}^n_+)$. Prouver que si $\varphi \in \mathscr{D}(\overline{\mathbb{R}^n_+})$, la fonction $\gamma_0 \varphi$ est bien définie dans $H^{3/2}(\mathbb{R}^{n-1})$ et qu'il existe une constante $C > 0$ telle pour tout $\varphi \in \mathscr{D}(\overline{\mathbb{R}^n_+})$,

$$\|\gamma_0 \varphi\|_{H^{3/2}(\mathbb{R}^{n-1})} \leq C\, \|\varphi\|_{H^2(\mathbb{R}^n_+)}.$$

(5) En déduire que l'opérateur de trace $\gamma_0$ se prolonge de façon unique en un opérateur linéaire (toujours noté $\gamma_0$), continu de $H^2(\mathbb{R}^n_+)$ dans $H^{3/2}(\mathbb{R}^{n-1})$. (6) En déduire que l'opérateur de trace $\gamma_1$ se prolonge de façon unique en un opérateur linéaire (toujours noté $\gamma_1$), continu de $H^2(\mathbb{R}^n_+)$ dans $H^{1/2}(\mathbb{R}^{n-1})$. (7) Considérons une fonction $\theta \in \mathscr{D}(\mathbb{R})$ telle que $0 \leq \theta(t) \leq 1$ pour $t \in \mathbb{R}$ et vérifiant $\theta(t) = 1$ pour $|t| \leq 1$. Pour tout $\phi \in H^{3/2}(\mathbb{R}^{n-1})$, posons pour presque tout $x = (x', x_n) \in \mathbb{R}^{n-1} \times \mathbb{R}_+$,

$$\mathscr{R}\phi(x', x_n) = \mathscr{F}_{n-1}^{-1}(\psi)(x', x_n), \qquad (7)$$

où

$$\psi(\xi', x_n) = \mathscr{F}_{n-1}(\phi)(\xi')\, \theta\!\left( x_n \left( 1 + |\xi'|^2 \right)^{\frac{1}{2}} \right), \qquad (\xi', x_n) \in \mathbb{R}^{n-1} \times \mathbb{R}.$$

Démontrer que la relation (7) définit un opérateur $\mathscr{R}$ linéaire continu de $H^{3/2}(\mathbb{R}^{n-1})$ dans $H^2(\mathbb{R}^n_+)$ et que l'opérateur $\gamma_0$ est surjectif. (8) Démontrer que la relation (7) définit un opérateur $\mathscr{R}$ linéaire continu de $H^{1/2}(\mathbb{R}^{n-1})$ dans $H^2(\mathbb{R}^n_+)$ et que l'opérateur $\gamma_1$ est surjectif.