مسابقة دكتوراه 2015 — Université Batna 2 - Mostefa Ben Boulaïd

التمرين 1

Homogénéisation d'un problème elliptique unidimensionnel

#homogenization#elliptic-pde#lax-milgram#weak-convergence

Sur $\Omega=(c,d)$ , étudier $-(a_\varepsilon u_\varepsilon')'+b_\varepsilon u_\varepsilon=f_\varepsilon$ , $u_\varepsilon|_{\partial\Omega}=0$ , sous $0<\alpha\le a_\varepsilon\le\beta$ , $1/a_\varepsilon\rightharpoonup^*c$ , $b_\varepsilon\rightharpoonup^*b$ et $f_\varepsilon\rightharpoonup f$ . Identifier la limite, puis traiter les cas périodique, convergence forte et sous-suites.

◀الحل

Lax-Milgram donne une unique solution et l'estimation d'énergie la borne dans $H_0^1$ . Après extraction, $u_\varepsilon\rightharpoonup u_0$ dans $H_0^1$ et fortement dans $L^2$ . Avec le flux $q_\varepsilon=a_\varepsilon u_\varepsilon'$ , l'identité $u_\varepsilon'=(1/a_\varepsilon)q_\varepsilon$ mène à $q=a_{hom}u_0'$ avec $a_{hom}=1/c$ . La limite résout $-(a_{hom}u_0')'+bu_0=f$ . Si $a_\varepsilon(x)=a(x/\varepsilon)$ , $a_{hom}=(|Y|^{-1}\int_Ya^{-1})^{-1}$ . La convergence forte des coefficients donne la convergence forte des solutions; les hypothèses sur une sous-suite donnent le même résultat sur celle-ci.