مسابقة دكتوراه 2015 — Université Djilali Liabès - Sidi Bel Abbès — الموضوع 02

Exercice 01

Modélisation. Soit $x$ le nombre d'offres « téléphone $+$ 2 cartes » et $y$ le nombre de coffrets « téléphone $+$ 1 kit $+$ 3 cartes ». Les stocks donnent

$\max\ P=7x+9y\quad\text{s.c.}\quad\begin{cases}x+y\leq 8 &(\text{téléphones})\\ y\leq 4 &(\text{kits})\\ 2x+3y\leq 19 &(\text{cartes})\\ x,y\geq 0.\end{cases}$

Simplexe (variables d'écart $s_1,s_2,s_3$) :

• $y$ entre (coût réduit $-9$), $s_2$ sort ($\min(8,4,19/3)=4$) : $y=4$.
• $x$ entre (coût réduit $-7$), $s_3$ sort : $x=\tfrac72$.
• $s_2$ ré-entre (coût réduit $\tfrac32\gt 0$), $s_1$ sort ($\min=1$) : on obtient $x=5,\ y=3$.

Tous les coûts réduits sont alors $\geq 0$ : optimum atteint.

$\boxed{x=5\ \text{offres, }\ y=3\ \text{coffrets},\qquad P_{\max}=7\cdot 5+9\cdot 3=62\ \text{dinars}.}$

Vérification des stocks : téléphones $5+3=8$ (épuisés), cartes $2\cdot5+3\cdot3=19$ (épuisées), kits $3\leq 4$.

Exercice 02

1. Existence et unicité

Les coefficients $\mu(x)=a+\alpha x$ et $\sigma(x)=b+\beta x$ sont affines en $x$. Ils sont donc globalement lipschitziens,

$|\mu(x)-\mu(y)|=|\alpha|\,|x-y|,\qquad |\sigma(x)-\sigma(y)|=|\beta|\,|x-y|,$

et vérifient la condition de croissance linéaire $|\mu(x)|+|\sigma(x)|\leq C(1+|x|)$. Le théorème d'existence et d'unicité des solutions fortes d'EDS s'applique :

$\boxed{\text{l'EDS admet une unique solution forte.}}$

2. (i)

Sous forme intégrale, $X_t=x+\int_0^t(a+\alpha X_s)ds+\int_0^t(b+\beta X_s)dB_s$. En prenant l'espérance (l'intégrale d'Itô est centrée) :

$m(t)=x+\int_0^t\big(a+\alpha m(s)\big)ds\ \Longrightarrow\ \boxed{m'(t)=\alpha m(t)+a,\quad m(0)=x,}$

soit $y'-\alpha y=a,\ y(0)=x$ (équation linéaire, solution unique).

2. (ii)

Formule d'Itô pour $X_t^2$ :

$d(X_t^2)=2X_t\,dX_t+d\langle X\rangle_t=\Big[2X_t(a+\alpha X_t)+(b+\beta X_t)^2\Big]dt+2X_t(b+\beta X_t)\,dB_t.$

Le terme de dérive se développe en $(2\alpha+\beta^2)X_t^2+2(a+b\beta)X_t+b^2$. En prenant l'espérance :

$\boxed{M'(t)=(2\alpha+\beta^2)M(t)+2(a+b\beta)m(t)+b^2,\quad M(0)=x^2,}$

soit $y'-(2\alpha+\beta^2)y=2(a+b\beta)m(t)+b^2,\ y(0)=x^2$.

2. (iii) Cas $a=\beta=0$

Alors $m'(t)=\alpha m(t),\ m(0)=x\Rightarrow m(t)=x\,e^{\alpha t}$, donc $E(X_t)=x\,e^{\alpha t}$.

Pour $M$ : $M'-2\alpha M=b^2,\ M(0)=x^2$, d'où

$M(t)=e^{2\alpha t}\Big(x^2+b^2\int_0^t e^{-2\alpha s}ds\Big)=x^2 e^{2\alpha t}+\frac{b^2}{2\alpha}\big(e^{2\alpha t}-1\big).$

Donc

$\boxed{E(X_t)=x\,e^{\alpha t},\qquad \mathrm{Var}(X_t)=M(t)-m(t)^2=\frac{b^2}{2\alpha}\big(e^{2\alpha t}-1\big).}$