مسابقة دكتوراه 2015 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB)

التمرين 1

Exercice 1 — Fonctions arithmétiques et produit de Dirichlet

#algebra#number-theory#dirichlet-convolution#mobius-function#euler-totient

Soit $A = \mathbb{C}^{\mathbb{N}^*}$ l'ensemble des fonctions arithmétiques muni de l'addition usuelle et du produit de Dirichlet $(f*g)(n)=\sum_{d|n} f(d)g(n/d).$

Préciser l'élément neutre $\delta$ de la multiplication.
Montrer que le groupe des unités de $A$ est $U(A)=\{f\in A : f(1)\neq 0\}$ .
On dit qu'une fonction arithmétique $f$ est multiplicative si $f(1)\neq 0$ et $(n,m)=1 \Rightarrow f(nm)=f(n)f(m)$ . On désigne par $\mathcal{M}$ l'ensemble des fonctions arithmétiques multiplicatives. Montrer que $\mathcal{M}$ est un sous-groupe de $U(A)$ .
On désigne par $1$ et $j$ les fonctions définies par $1(n)=1$ et $j(n)=n$ . a) Montrer que $1$ et $j$ appartiennent à $\mathcal{M}$ . b) On désigne par $\mu$ la fonction de Möbius et par $\varphi$ la fonction indicatrice d'Euler. Prouver que $\mu$ est l'inverse pour le produit de Dirichlet de la fonction arithmétique $1$ et que $1*\varphi=j$ .

◀الحل

L'élément neutre pour le produit de Dirichlet est $\delta$ défini par $\delta(1)=1$ et $\delta(n)=0$ pour $n\ge 2$ .

Une fonction $f$ est inversible ssi $f(1)\ne 0$ , l'inverse se construit récursivement sur les valeurs de $n$ .

Les fonctions multiplicatives sont stables par produit de Dirichlet et passage à l'inverse, donc forment un sous-groupe de $U(A)$ .

$1$ et $j$ sont clairement multiplicatives. La relation $1*\mu=\delta$ caractérise la fonction de Möbius. La formule $1*\varphi=j$ exprime l'identité classique $\sum_{d|n}\varphi(d)=n$ .