مسابقة دكتوراه 2015 — Université Ahmed Ben Bella - Oran 1 — الموضوع 01

مسابقة عامة · الرياضيات

FB_IMG_1535721411202.pdf, Mathématiques générales

التمرين 1

Équation différentielle linéaire sur (-1,1)

#EDO#facteur intégrant

Sur $I=(-1,1)$ , résoudre

(1-x^2)y'(x)-xy(x)=f(x),

avec $f\in C^\infty(I)$ et $y(0)=y_0$ . Justifier existence, unicité et régularité, puis traiter $f\equiv1$ .

◀الحل

Le facteur intégrant donne

(\sqrt{1-x^2}\,y)'=\frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}},

donc

y(x)=\frac{y_0+\int_0^x f(t)/\sqrt{1-t^2}\,dt}{\sqrt{1-x^2}}.

Pour $f=1$ , $y=(y_0+\arcsin x)/\sqrt{1-x^2}$ .

التمرين 2

Formulation variationnelle d'un problème de Dirichlet

#Lax-Milgram#Sobolev

Pour $f,q\in C([a,b])$ , $q>0$ , étudier

-u''+qu=f, \qquad u(a)=u(b)=0,

à l'aide de la forme $a(u,v)=\int_a^b(u'v'+quv)\,dx$ .

◀الحل

Chercher $u\in H_0^1(a,b)$ tel que $a(u,v)=\int_a^bfv$ pour tout $v$ . La forme est continue et coercive, donc Lax-Milgram donne une unique solution faible.

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