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مسابقة دكتوراه 2015 — Université Ahmed Ben Bella - Oran 1 — الموضوع 01

مسابقة تخصص · Analyse Numérique & Optimisation

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FB_IMG_1535721411202.pdf, Algèbre linéaire numérique

التمرين 1

Matrices semblables et invariants de similitude

#matrices#similitude

Définir la similitude de deux matrices et discuter la conservation du rang, du déterminant, du polynôme caractéristique et des valeurs propres, ainsi que les réciproques.

◀الحل

Si B=P−1APB=P^{-1}AP, rang, déterminant et polynôme caractéristique sont conservés. Les réciproques sont fausses en général, car ces données ne déterminent pas la forme de Jordan.

التمرين 2

Méthode de Jacobi relaxée pour un système linéaire

#Jacobi#convergence

Pour AA inversible à diagonale non nulle, D=diag⁡(A)D=\operatorname{diag}(A) et α≠0\alpha\ne0, étudier

xk+1=(I−αD−1A)xk+αD−1b.x_{k+1}=(I-\alpha D^{-1}A)x_k+\alpha D^{-1}b.

Montrer la consistance, calculer les coefficients de la matrice d'itération et donner la condition de convergence.

◀الحل

Le passage à la limite donne Ax=bAx=b. De plus,

(D−1A)ij=aijaii,Bij=δij−αaijaii.(D^{-1}A)_{ij}=\frac{a_{ij}}{a_{ii}}, \qquad B_{ij}=\delta_{ij}-\alpha\frac{a_{ij}}{a_{ii}}.

La convergence pour tout x0x_0 équivaut à ρ(B)<1\rho(B)<1.

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