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مسابقة دكتوراه 2015 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 01

مسابقة تخصص · Systèmes Dynamiques

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Concours pour le doctorat Systèmes dynamiques, Épreuve EDO, Courbes et surfaces, Faculté de Mathématiques, USTHB (année non précisée sur le sujet).

التمرين 1

Exercice 1 — Points d'équilibre et stabilité (système de Lorenz)

#dynamical-systems#equilibria#stability#lorenz-system

Considérons le système différentiel réel

{x′=−ax+ayy′=bx−y−xzz′=−cz+xy(1)\begin{cases} x'=-ax+ay\\ y'=bx-y-xz\\ z'=-cz+xy\end{cases}\qquad(1)

où c>0c\gt0, a>c+1a\gt c+1 et b>0b\gt0, appelé système de Lorenz.

  1. Vérifier que dans le cas b<1b\lt1 le seul point d'équilibre du système (1)(1) est la solution nulle.
  2. Déterminer les points d'équilibre dans le cas b>1b\gt1.
  3. Étudier la stabilité de la solution nulle.
◀الحل

Équilibres : x=yx=y, x(b−1−z)=0x(b-1-z)=0, z=x2/cz=x^2/c. Si x=0x=0 : origine. Si x≠0x\ne0 : z=b−1z=b-1 et x2=c(b−1)x^2=c(b-1), réel ssi b>1b\gt1.

b<1: origine seule;b>1: (±c(b−1), ±c(b−1), b−1)\boxed{b\lt1:\ \text{origine seule};\quad b\gt1:\ \big(\pm\sqrt{c(b-1)},\ \pm\sqrt{c(b-1)},\ b-1\big)}

Jacobienne en 00 : valeur propre −c-c et bloc de trace −(a+1)<0-(a+1)\lt0, déterminant a(1−b)a(1-b). Donc origine asymptotiquement stable si b<1b\lt1, point selle (instable) si b>1b\gt1.

التمرين 2

Exercice 2 — Hélice circulaire : repère de Frenet, courbure et torsion

#differential-geometry#frenet-serret#curvature#torsion

Soit dans R3\mathbb{R}^3 la courbe d'équations x=cos⁡t, y=sin⁡t, z=btx=\cos t,\ y=\sin t,\ z=bt, où bb est une constante.

  1. Faites un dessin.
  2. Déterminer le trièdre de Frenet-Serret (T,N,B)(T,N,B).
  3. Démontrer que la courbure et la torsion sont constantes en tout point (hélice circulaire droite).
◀الحل

T=(−sin⁡t,cos⁡t,b)1+b2T=\dfrac{(-\sin t,\cos t,b)}{\sqrt{1+b^2}}, N=(−cos⁡t,−sin⁡t,0)N=(-\cos t,-\sin t,0), B=(bsin⁡t,−bcos⁡t,1)1+b2B=\dfrac{(b\sin t,-b\cos t,1)}{\sqrt{1+b^2}}.

κ=11+b2,τ=b1+b2\boxed{\kappa=\dfrac{1}{1+b^2},\qquad \tau=\dfrac{b}{1+b^2}}

toutes deux constantes : la courbe est une hélice circulaire droite.

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