مسابقة دكتوراه 2015 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 01

مسابقة عامة · الرياضيات

Concours pour le doctorat Systèmes dynamiques, Épreuve Analyse et Topologie, Faculté de Mathématiques, USTHB (année non précisée sur le sujet).

التمرين 1

Exercice 1 — Équations différentielles et série associée

#linear-ode#series-convergence#improper-integrals

Résoudre les équations différentielles

$y''+2y'+2y=0,\qquad y''+4y'+4y=2e^{-x}\cos x.$

Soit $f$ la solution commune des deux équations différentielles. On définit la série de terme général $u_n=\displaystyle\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} f(x)\,dx$ . Montrer que $\sum_n u_n$ converge et calculer sa somme.

◀الحل

$y''+2y'+2y=0\Rightarrow y=e^{-x}(A\cos x+B\sin x)$ . Pour la seconde, solution particulière $e^{-x}\sin x$ . La solution commune est $f(x)=e^{-x}\sin x$ .

$u_n=\tfrac12(-1)^n e^{-n\pi}(1+e^{-\pi})$ , série géométrique de raison $-e^{-\pi}$ :

$\boxed{\sum_{n\ge0}u_n=\tfrac12}$

التمرين 2

Exercice 2 — Topologie de parties de $\mathbb{R}^2$

#topology#connectedness#compactness#completeness

Soient dans $\mathbb{R}^2$ les ensembles

$A=\{(x,y):\ x-2\le y\le x^2\},\quad B=\{(x,y):\ x^2\lt y\ \text{ou}\ y\lt x-2\},$

$C=\{(x,y):\ 0\le x\le1,\ x-2\le y\le x^2\}.$

Faites un dessin.
Quelles sont les parties fermées, connexes par arcs, compactes, complètes ? Expliquez vos réponses.

◀الحل

$B=\mathbb{R}^2\setminus A$ est ouvert et non connexe (deux composantes) : ni fermé, ni compact, ni complet.

$A$ : fermé (inégalités larges), connexe par arcs, non borné donc non compact, complet (fermé de $\mathbb{R}^2$ ).

$C$ : fermé et borné donc compact, connexe par arcs, complet.

$\boxed{A\ \text{et}\ C\ \text{fermés/connexes/complets};\ C\ \text{seul compact}}$

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