مسابقة دكتوراه 2015 — Source inconnue — الموضوع 01

مسابقة تخصص · Analyse Fonctionnelle

Ensemble mixte d'épreuves 2014-2015 visibles sur scans multiples : pseudo-différentiels, espaces de Sobolev, semi-groupes, analyse fonctionnelle et EDP/distributions — sources partielles diverses (Sidi Bel Abbès, M'Sila, Constantine, Guelma, Médéa, USTHB).

التمرين 1

Exercice 1 — Fonctions arithmétiques multiplicatives et produit de Dirichlet

#algebra#number-theory#dirichlet-convolution#multiplicative-functions

Soit $A = \mathbb{C}^{\mathbb{N}^*}$ l'ensemble des fonctions arithmétiques, muni de l'addition et du produit de Dirichlet $(f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(n/d)$ .

Préciser l'élément neutre de la multiplication.
Montrer que le groupe des unités est $U(A)=\{f \in A : f(1) \neq 0\}$ .
Montrer que l'ensemble $\mathcal{M}$ des fonctions multiplicatives est un sous-groupe de $U(A)$ .
Montrer que $1$ et $j(n)=n$ sont multiplicatives, que $\mu$ est l'inverse de $1$ pour le produit de Dirichlet, et que $1*\varphi = j$ .

◀الحل

L'élément neutre est $\delta$ défini par $\delta(1)=1$ , $\delta(n)=0$ si $n\ge2$ . Les unités sont exactement les fonctions telles que $f(1)\neq0$ . Les fonctions multiplicatives sont stables par produit de Dirichlet et inversion. Enfin, les identités classiques de théorie multiplicative donnent $\mu*1=\delta$ et $1*\varphi=j$ .

التمرين 2

Exercice 2 — Semi-groupe renormalisé et générateur infinitésimal

#functional-analysis#semigroups#generator

Soit $(T(t))_{t\ge0}$ un $C_0$ -semi-groupe sur un espace de Banach $E$ , avec $\|T(t)\| \leq Me^{\omega t}$ . On pose $S(t)=e^{-\omega t}T(t)$ .

Montrer que $(S(t))_{t\ge0}$ est un $C_0$ -semi-groupe uniformément borné.
Montrer que si $A$ est le générateur de $(T(t))$ , alors $A-\omega I$ est celui de $(S(t))$ .

◀الحل

$S(t+s)=S(t)S(s)$ , $S(0)=I$ et $\|S(t)\|\le M$ . La continuité forte vient de celle de $T(t)$ . Le générateur se calcule directement : $\lim_{t\to0}\frac{S(t)x-x}{t}=\lim\frac{e^{-\omega t}T(t)x-x}{t}=Ax-\omega x$ .

التمرين 3

Exercice 3 — Distances à un sous-ensemble fermé d'un espace normé

#functional-analysis#metric-spaces#distance-function

Soit $A$ une partie non vide d'un espace vectoriel normé $(E,\|\cdot\|)$ . Pour $x\in E$ , on pose $d_A(x)=d(x,A)=\inf\{\|x-a\|:a\in A\}$ .

Justifier l'existence de $d_A(x)$ .
Si $A$ est fermée, montrer que $d_A(x)=0 \iff x\in A$ .
Comparer $d_A(x)$ et $d_{\overline{A}}(x)$ .
Montrer que $d_A$ est continue sur $E$ .
Montrer que l'application $x \mapsto d_A(x)$ est injective si et seulement si...

◀الحل

$d_A(x)$ existe comme borne inférieure d'un ensemble non vide de réels positifs. Si $A$ est fermée, $d_A(x)=0$ implique qu'une suite de points de $A$ converge vers $x$ , donc $x\in A$ . On a toujours $d_A=d_{\overline A}$ . Enfin $|d_A(x)-d_A(y)|\le\|x-y\|$ , donc $d_A$ est 1-lipschitzienne. L'injectivité n'a lieu que dans des cas triviaux.

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