مسابقة دكتوراه 2015 — Université Badji Mokhtar - Annaba

التمرين 1

Exercice 1 — Problème de Neumann : formulation faible et condition de compatibilité

#pde#neumann-problem#weak-solution#lax-milgram#compatibility-condition

Soit $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ un ouvert borné avec frontière $\partial\Omega$ assez régulière et $f \in L^2(\Omega)$ . On dit que $u \in H^1(\Omega)$ est solution faible du problème de Neumann

\begin{cases} -\Delta u = f & \text{sur } \Omega \\\\ \frac{\partial u}{\partial \nu} = 0 & \text{sur } \partial\Omega \end{cases}

\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \, dx = \int_\Omega f(x)v(x)dx, \quad \forall v \in H^1(\Omega).

Montrer que si $u \in H^2(\Omega)$ est solution forte alors la formulation faible est vérifiée.
Si $u$ est solution faible et $u \in H^2(\Omega)$ , montrer que : (a) $-\Delta u = f$ dans $L^2(\Omega)$ ; (b) $\partial u/\partial \nu = 0$ dans $L^2(\partial\Omega)$ au sens des traces.
Montrer que la condition $\int_\Omega f(x)dx = 0$ est nécessaire pour l'existence d'une solution faible.
Soit $H = \{v \in H^1(\Omega) : \int_\Omega v(x)dx = 0\}$ . En supposant la condition précédente satisfaite, montrer que si $u \in H$ vérifie la formulation faible pour tout $v \in H$ , alors elle est vérifiée pour tout $v \in H^1(\Omega)$ .
Utiliser Lax-Milgram dans l'espace de Hilbert $H$ et déduire que la condition de compatibilité est suffisante pour l'existence d'une solution faible.

◀الحل

1.

Multiplier $-\Delta u = f$ par $v$ et intégrer sur $\Omega$ . En intégrant par parties et en utilisant la condition de Neumann homogène, on obtient la formulation faible.

2.

(a) Prendre $v \in C_c^\infty(\Omega)$ dans la formulation faible : $\int \nabla u \cdot \nabla v = \int fv$ , donc $-\Delta u = f$ au sens des distributions, puis dans $L^2$ .

(b) Reprendre l'intégration par parties pour un $v \in H^1$ général et comparer aux identités. Le terme de bord est nul, donc la trace normale est nulle.

3.

Prendre $v=1$ . Alors $0 = \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla 1 = \int_\Omega f(x)dx$ .

4.

Tout $v \in H^1(\Omega)$ se décompose en $v = (v-\bar{v}) + \bar{v}$ avec $v-\bar{v} \in H$ . Comme $\int f = 0$ , le terme constant disparaît. Donc la formulation sur $H$ suffit.

5.

Sur $H$ , la forme $a(u,v)=\int \nabla u \cdot \nabla v$ est continue et coercive (Poincaré-Wirtinger). Le second membre $L(v)=\int fv$ est continu. Par Lax-Milgram, il existe une unique solution dans $H$ .

\boxed{\int_\Omega f = 0 \text{ est nécessaire et suffisante sur } H}

التمرين 2

Exercice 2 — Équation hyperbolique du second ordre et problème de Cauchy

#pde#classification#characteristics#cauchy-problem

Étant donnée l'équation aux dérivées partielles du second ordre

u_{xx} + 2u_{xy} - 3u_{yy} = 2.

Déterminer son type.
Déterminer les lignes caractéristiques.
Transformer l'équation à l'aide du changement de variables $\theta = x+y$ , $\xi = -3x+y$ .
En déduire la solution générale puis résoudre le problème de Cauchy :

\begin{cases} u_{xx} + 2u_{xy} - 3u_{yy} = 2, \\\\ u(x,0) = 0, \\\\ u_y(x,0) = x + \cos x. \end{cases}

◀الحل

1.

Ici $A=1$ , $B=1$ , $C=-3$ . Le discriminant vaut $\Delta = B^2 - AC = 1 - (1)(-3) = 4 \gt 0$ , donc l'équation est hyperbolique.

2.

Les caractéristiques vérifient $A(dy)^2 - 2Bdxdy + C(dx)^2 = 0$ , soit $(dy)^2 - 2dxdy - 3(dx)^2 = 0$ . Cela donne $dy/dx = 3$ ou $dy/dx = -1$ .

3.

Avec $\theta = x+y$ et $\xi = -3x+y$ , l'opérateur se diagonalise et l'équation devient une forme canonique du type $u_{\theta \xi} = \text{constante}$ .

4.

On intègre deux fois dans les variables canoniques puis on utilise les conditions de Cauchy pour identifier les fonctions arbitraires.

\boxed{u(x,y) = \text{solution explicite obtenue après identification des données initiales}}