مسابقة دكتوراه 2015 — Université Kasdi Merbah - Ouargla — الموضوع 01

Soit $f$ une fonction régulière. On souhaite approcher la solution du problème

$$\begin{cases} -u''(x)+\dfrac{u'(x)}{1+x}=f(x),&0<x<1,\\ u(0)=u(1)=0, \end{cases}$$

par la méthode des différences finies. On considère une discrétisation $(x_0,\ldots,x_{n+1})$ de $[0,1]$ à pas constant $h=\frac1{n+1}$ et les formules centrées pour $u'$ et $u''$. On note $u_i$ la valeur approchée de $u(x_i)$.

1. Écrire le problème approché sous la forme $A\vec u=\vec b$, en explicitant la matrice $A=(a_{ij})_{1\le i,j\le n}$ et le vecteur $\vec b=(b_i)_{1\le i\le n}$.

On admet que $A$ est monotone, c'est-à-dire que $A^{-1}=(c_{ij})$ existe et $c_{ij}\ge0$.

2. On considère

$$\phi(x)=\frac23(x^2+2x)\ln 2-\frac{(1+x)^2}{2}\ln(1+x),\qquad x\in[0,1].$$

a. Calculer $\phi(0)$, $\phi(1)$ et

$$-\phi''(x)+\frac{\phi'(x)}{1+x}.$$

b. Montrer qu'il existe une constante $C$, indépendante de $h$, telle que

$$\max_{1\le i\le n}\left| -\frac{\phi(x_{i+1})-2\phi(x_i)+\phi(x_{i-1})}{h^2} +\frac{\phi(x_{i+1})-\phi(x_{i-1})}{2h(1+ih)}-1 \right|\le Ch^2.$$

c. En posant $\vec\phi=(\phi(x_i))_{1\le i\le n}$, déduire que

$$\min_{1\le i\le n}(A\vec\phi)_i\ge1-Ch^2.$$

3. Montrer qu'il existe une constante $M$, indépendante de $h$, telle que

$$\|A^{-1}\|_\infty\le M, \qquad \|A^{-1}\|_\infty=\max_{1\le i\le n}\sum_{j=1}^n|c_{ij}|.$$

Soient $I=(-1,1)$, $I_-=(-1,0)$, $I_+=(0,1)$ et $f\in L^2(I)$. On note $V=H_0^1(I)$.

Pour tout $\lambda>0$, on considère le problème de transmission

$$\begin{cases} -\lambda(u_\lambda^-)''=f&\text{dans }(-1,0),\\ -(u_\lambda^+)''=f&\text{dans }(0,1),\\ u_\lambda^+(0)=u_\lambda^-(0),\\ \dfrac{du_\lambda^+}{dx}(0)=\lambda\dfrac{du_\lambda^-}{dx}(0),\\ u_\lambda^+(1)=u_\lambda^-(-1)=0. \end{cases}$$

1. Trouver le problème variationnel correspondant.
2. Montrer que le problème variationnel est bien posé.
3. Montrer l'estimation de Céa

$$\|u_\lambda-u_h\|_{H^1(I)} \le C\inf_{v_h\in V_h}\|u_\lambda-v_h\|_{H^1(I)},$$

où $C$ est indépendante de $h$ et $u_h$ est la solution approchée obtenue par la méthode de Galerkin $P_1$. 4. Montrer que si $\lambda\ne1$, alors $u_\lambda\notin H^2(I)$. 5. Est-il raisonnable d'espérer une estimation de la forme

$$\|u_\lambda-u_h\|_{H^1(I)}\le C'h,$$

où $C'$ est indépendante de $h$ ?