مسابقة دكتوراه 2015 — École Nationale Supérieure de Statistique et d'Économie Appliquée (ENSSEA) — الموضوع 01

(7 points) Soit le modèle

$ y_t = \beta + \varepsilon_t

avec $t$ allant de 1 à $n$ et vérifiant toutes les hypothèses des moindres carrés ordinaires.

**1.** Soit $w_1, \ldots, w_n$ une suite de nombres réels (non-aléatoires et non tous nuls), où $l \geq 1$. Soit la classe d'estimateurs linéaires :
$
S_l = w_l y_l + \cdots + w_n y_n

pour $\beta$. Quelle(s) condition(s) doit vérifier la suite $\{w_1, \ldots, w_n, l \geq 1\}$ pour que $S_l$ soit un estimateur sans biais pour $\beta$.

2. En déduire que la classe $S_l$ est infinie et non dénombrable. Quel est parmi les $S_l$, l'estimateur le plus efficace ?

3. Démontrez que si $l \gt 1$, alors $S_l$ (estimateur sans biais non-exhaustif) est moins efficace que l'estimateur des moindres carrés ordinaires.

(7 points) Supposons une série d'observations portant sur la quantité demandée $Q_t$ d'une marchandise, son prix $P_t$, le revenu global des consommateurs $R_t$, le prix moyen des marchandises de substitution $S_t$, durant une période de 10 ans. On se propose de lui ajuster le modèle suivant :

$ Q_t = \beta_1 + \beta_2 P_t + \beta_3 R_t + \beta_4 S_t + \varepsilon_t.

**1.** Donner la signification des paramètres associés aux variables.

**2.** Sous les hypothèses classiques, la méthode des moindres carrés donne l'ajustement suivant :
$
\hat{Q}_t = 79{,}706 - 4{,}928 P_t + 0{,}016 R_t + 0{,}175 S_t

avec les écarts-types estimés : 19,782 ; 1,611 ; 0,007 ; 0,637.

Les signes des estimateurs sont-ils conformes aux enseignements de la Théorie de la Demande ? Expliquer. Tester la signification de chacun des paramètres au seuil de 5%.

3. On donne $\mathcal{R}^2 = 0{,}95$. Déterminer le coefficient de Theil et tester la signification de la régression dans son ensemble : $(\beta_2, \beta_3, \beta_4) = (0,0,0)$.

4. En utilisant les statistiques de Student, déterminer les coefficients de corrélation partielle et indiquer, entre le revenu, le prix et le prix moyen des produits-substituts, lequel contribue le moins au pouvoir explicatif du modèle.

5. Calculer, sur les valeurs moyennes $\bar{Q}=70$, $\bar{P}=6$, $\bar{R}=1100$, $\bar{S}=17$, l'élasticité-prix, l'élasticité-revenu et l'élasticité croisée de la demande.

Les statistiques tabulées de Student et de Fisher sont respectivement 2,447 et 8,94.

(6 points) Considérez les processus stochastiques ci-après dans lesquels $\{\varepsilon_t\}$ est un bruit-blanc normalement distribué. Discutez, pour chacun d'eux, la stationnarité au sens faible (covariance) et la stationnarité au sens strict :

1. $ y_t = 0{,}5 y_{t-1} + \varepsilon_t

**2.**
$
y_t = y_{t-1} + \varepsilon_t + 5\varepsilon_{t-1}

3. $ y_t = -y_{t-1} + \varepsilon_t

**4.**
$
y_t = 0{,}4 y_{t-1} + \varepsilon_t \quad \text{si } t \leq t_0 \quad \text{et} \quad y_t = 0{,}1 y_{t-1} + \varepsilon_t \quad \text{si } t \gt t_0.
``$