مسابقة دكتوراه 2015 — Université Batna 2 - Mostefa Ben Boulaïd

التمرين 1

Observabilité approchée de l'équation de la chaleur

#heat-equation#semigroup#observability#spectral-operator

Dans $L^2(0,1)$ , considérer $y_t=y_{xx}$ , $y(0,t)=y(1,t)=0$ , et $z(t)=\int_{1-\varepsilon}^1y(x,t)dx$ . Mettre le système sous forme abstraite, déterminer le semi-groupe, vérifier que l'observation est bornée et étudier l'observabilité approchée.

◀الحل

$Au=u''$ sur $D(A)=H^2\cap H_0^1$ et $Cu=\int_{1-\varepsilon}^1u$ . Les couples propres sont $(-n^2\pi^2,\sqrt2\sin(n\pi x))$ , donc $S(t)u=\sum_ne^{-n^2\pi^2t}\langle u,e_n\rangle e_n$ . Cauchy-Schwarz donne $\|C\|\le\sqrt\varepsilon$ . L'observabilité approchée équivaut à $Ce_n\ne0$ pour tout $n$ , où $Ce_n=\frac{\sqrt2}{n\pi}[\cos(n\pi(1-\varepsilon))-(-1)^n]$ . Elle vaut donc exactement lorsque $n\varepsilon\notin2\mathbb Z$ pour tout $n$ .