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مسابقة دكتوراه 2015 — Université Djilali Liabès - Sidi Bel Abbès — الموضوع 01

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques

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Concours d'accès à l'École doctorale « Calcul Stochastique, Statistique et Applications », 1ère Épreuve : Recherche opérationnelle et Équations différentielles stochastiques et Processus stochastique, Sujet 3, Faculté des Sciences Exactes, Université Djillali Liabès de Sidi Bel Abbès, année universitaire 2014/2015.

التمرين 1

Exercice 01 — Programme linéaire de production : résolution graphique et simplexe

#operations-research#linear-programming#simplex-method#graphical-method#optimization

Une firme fabrique deux produits P1P_1 et P2P_2 à l'aide de matières premières M1,M2,M3M_1,M_2,M_3 selon le plan

P1P2M121M242M301\begin{array}{c|cc} & P_1 & P_2\\\hline M_1 & 2 & 1\\ M_2 & 4 & 2\\ M_3 & 0 & 1\end{array}

Les quantités disponibles de M1,M2,M3M_1,M_2,M_3 sont respectivement 8,7,38,7,3 tonnes. Le profit unitaire est 55 pour P1P_1 et 66 pour P2P_2. Maximiser le profit en respectant les contraintes.

  1. Écrire le programme linéaire et le résoudre graphiquement.
  2. Retrouver la solution par la méthode du simplexe.
◀الحل

Exercice 01

1. Programme linéaire. Soit xx le nombre d'unités de P1P_1 et yy celui de P2P_2 :

max⁡ Z=5x+6ys.c.{2x+y≤8(M1)4x+2y≤7(M2)y≤3(M3)x,y≥0.\max\ Z=5x+6y\quad\text{s.c.}\quad\begin{cases}2x+y\leq 8 &(M_1)\\ 4x+2y\leq 7 &(M_2)\\ y\leq 3 &(M_3)\\ x,y\geq 0.\end{cases}

Résolution graphique. La contrainte (M2)(M_2) s'écrit 2x+y≤3,52x+y\leq 3{,}5, plus forte que (M1)(M_1) : (M1)(M_1) est redondante. Les sommets du domaine réalisable sont

(0,0),(74,0),(14,3),(0,3),(0,0),\quad \big(\tfrac74,0\big),\quad \big(\tfrac14,3\big),\quad (0,3),

avec Z=0, 354, 774, 18Z=0,\ \tfrac{35}{4},\ \tfrac{77}{4},\ 18. Le maximum est atteint en (14,3)\big(\tfrac14,3\big) (intersection de 4x+2y=74x+2y=7 et y=3y=3).

x=14 (P1),y=3 (P2),Zmax⁡=774=19,25.\boxed{x=\tfrac14\ (P_1),\quad y=3\ (P_2),\qquad Z_{\max}=\tfrac{77}{4}=19{,}25.}

2. Simplexe (écarts s1,s2,s3s_1,s_2,s_3) : yy entre / s3s_3 sort (y=3)(y=3) ; puis xx entre / s2s_2 sort (x=14)(x=\tfrac14). Les coûts réduits deviennent tous ≥0\geq 0 : la solution x=14, y=3, Z=774x=\tfrac14,\ y=3,\ Z=\tfrac{77}{4} est optimale, ce qui confirme le résultat graphique. (M2M_2 et M3M_3 saturées ; M1M_1 : 2⋅14+3=3,5≤82\cdot\tfrac14+3=3{,}5\leq 8.)

التمرين 2

Exercice 02 — Ornstein-Uhlenbeck (cas particulier) : dynamique et lois conditionnelles

#stochastic-calculus#stochastic-differential-equation#ito-formula#ornstein-uhlenbeck#conditional-expectation

Soit l'EDS

dXt=Xt dt+dBt,X0=x.dX_t=X_t\,dt+dB_t,\qquad X_0=x.

  1. On pose Yt=e−tXtY_t=e^{-t}X_t, calculer la dynamique de YtY_t.
  2. Exprimer YtY_t sous forme intégrale.
  3. Calculer E(Yt)E(Y_t) et E(Yt2)E(Y_t^2).
  4. Exprimer YtY_t pour t>st\gt s sous la forme Yt=Ys+∫stg(u) dBuY_t=Y_s+\int_s^t g(u)\,dB_u où l'on explicitera gg.
  5. Calculer E(Yt∣Fs)E(Y_t\mid\mathcal F_s) et Var(Yt∣Fs)\mathrm{Var}(Y_t\mid\mathcal F_s).
  6. En déduire E(Xt∣Fs)E(X_t\mid\mathcal F_s) et Var(Xt∣Fs)\mathrm{Var}(X_t\mid\mathcal F_s).
◀الحل

Exercice 02

C'est le cas α=1, b=1\alpha=1,\ b=1 de l'EDS d'Ornstein-Uhlenbeck.

1.

dYt=−e−tXt dt+e−tdXt=−e−tXt dt+e−t(Xt dt+dBt)=e−t dBt.dY_t=-e^{-t}X_t\,dt+e^{-t}dX_t=-e^{-t}X_t\,dt+e^{-t}(X_t\,dt+dB_t)=\boxed{e^{-t}\,dB_t.}

2.

Yt=x+∫0te−u dBu,Xt=etYt=x et+∫0te t−u dBu.Y_t=x+\int_0^t e^{-u}\,dB_u,\qquad X_t=e^{t}Y_t=x\,e^{t}+\int_0^t e^{\,t-u}\,dB_u.

3.

E(Yt)=x,E(Yt2)=x2+∫0te−2udu=x2+1−e−2t2.E(Y_t)=x,\qquad E(Y_t^2)=x^2+\int_0^t e^{-2u}du=\boxed{x^2+\frac{1-e^{-2t}}{2}.}

4.

Pour t>st\gt s : Yt=Ys+∫ste−udBuY_t=Y_s+\displaystyle\int_s^t e^{-u}dB_u, donc g(u)=e−u.\boxed{g(u)=e^{-u}.}

5.

E(Yt∣Fs)=Ys,Var(Yt∣Fs)=∫ste−2udu=e−2s−e−2t2.E(Y_t\mid\mathcal F_s)=Y_s,\qquad \mathrm{Var}(Y_t\mid\mathcal F_s)=\int_s^t e^{-2u}du=\frac{e^{-2s}-e^{-2t}}{2}.

6.

E(Xt∣Fs)=etYs=e t−sXs,Var(Xt∣Fs)=e2t Var(Yt∣Fs)=e2(t−s)−12.E(X_t\mid\mathcal F_s)=e^{t}Y_s=e^{\,t-s}X_s,\qquad \mathrm{Var}(X_t\mid\mathcal F_s)=e^{2t}\,\mathrm{Var}(Y_t\mid\mathcal F_s)=\boxed{\frac{e^{2(t-s)}-1}{2}.}

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