مسابقة دكتوراه 2015 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 01

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques · المدة: 1سا 30د

Concours d'accès à la formation de 3ème Cycle LMD, Mathématiques Appliquées (Option : Probabilités et Statistique), Épreuve de Statistique, Université Mohamed Khider - Biskra, Faculté des Sciences Exactes et des Sciences de la Nature et de la Vie, Département de Mathématiques, 17 octobre 2015, durée 01h30.

التمرين 1

Exercice 1 — Variables aléatoires iid et lois dérivées

#probability#uniform-distribution#exponential-distribution#gamma-distribution#order-statistics

Soit $X_1, \ldots, X_n$ une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (iid) de loi de probabilité continue $F$ .

Montrer que $F(X_1), \ldots, F(X_n)$ sont iid et uniformément distribuées sur $[0, 1]$ .
Montrer que $E_1 = -\log F(X_1), \ldots, E_n = -\log F(X_n)$ sont iid exponentielles de paramètre 1.
Quelle est, pour chaque $i$ , la loi de probabilité de la variable aléatoire $S_i = E_1 + \ldots + E_i$ ?
Soit $Z_1, Z_2$ deux variables aléatoires indépendantes de lois gamma de paramètres $(\alpha, \theta)$ et $(\beta, \theta)$ respectivement. Indiquer (sans le démontrer) quelle est la loi de la variable aléatoire $Y = Z_1/(Z_1 + Z_2)$ .
Déduire, de la question 4, la loi de probabilité de la variable aléatoire $V_i = S_i/S_n$ , $i = 1, \ldots, n$ . Indication : écrire $S_n$ sous forme de la somme de deux termes.

◀الحل

1.

Puisque $F$ est continue et strictement croissante, $U = F(X) \sim \mathcal{U}[0,1]$ . Les $F(X_i)$ sont iid par indépendance des $X_i$ .

2.

$E_i = -\log U_i$ avec $U_i \sim \mathcal{U}[0,1]$ . On a $P(E_i \gt t) = P(U_i \lt e^{-t}) = e^{-t}$ pour $t \geq 0$ , donc $E_i \sim \mathcal{E}(1)$ .

3.

$S_i$ est somme de $i$ variables iid $\mathcal{E}(1)$ , donc $S_i \sim \Gamma(i, 1)$ .

4.

Si $Z_1 \sim \Gamma(\alpha,\theta)$ et $Z_2 \sim \Gamma(\beta,\theta)$ indépendantes, alors

$Y = \frac{Z_1}{Z_1+Z_2} \sim \mathcal{B}eta(\alpha, \beta).$

5.

$S_n = S_i + (S_n - S_i)$ avec $S_i \sim \Gamma(i,1)$ et $S_n - S_i \sim \Gamma(n-i,1)$ indépendants. Par la question 4 :

$\boxed{V_i = S_i/S_n \sim \mathcal{B}eta(i,\, n-i).}$

التمرين 2

Exercice 2 — Densité de Rayleigh, estimateur du maximum de vraisemblance

#statistics#mle#rayleigh-distribution#unbiasedness#consistency

Soit $X$ une variable aléatoire de densité de probabilité $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x}{\theta} \exp\!\left\{-\dfrac{x^2}{2\theta}\right\} & \text{si } x \gt 0 \\\\ 0 & \text{si } x \leq 0 \end{cases}, \quad \theta \gt 0.$

Déterminer la fonction de répartition de $Y = X^2/2$ , puis déduire sa densité de probabilité. À quelle loi de probabilité usuelle correspond-elle ?
Déterminer, à partir d'un échantillon $(X_1, \ldots, X_n)$ de taille $n \geq 1$ , l'estimateur $\hat{\theta}$ du maximum de vraisemblance du paramètre $\theta$ .
Montrer que $\hat{\theta}$ est sans biais et convergent en moyenne quadratique (pour $\theta$ ). On rappelle que l'espérance et la variance d'une variable aléatoire exponentielle de paramètre $\alpha \gt 0$ sont respectivement égales à $1/\alpha$ et $1/\alpha^2$ .

◀الحل

1.

Pour $y \gt 0$ : $P(Y \leq y) = P(X \leq \sqrt{2y}) = 1 - e^{-y/\theta}$ . Donc

$f_Y(y) = \frac{1}{\theta}e^{-y/\theta},\quad y \gt 0.$

C'est la loi exponentielle $\mathcal{E}(1/\theta)$ .

2.

La log-vraisemblance $\ell(\theta) = -n\log\theta - \frac{1}{2\theta}\sum x_i^2$ . En annulant $\ell'(\theta)$ :

$\boxed{\hat{\theta} = \frac{1}{2n}\sum_{i=1}^n X_i^2.}$

3.

$Y_i = X_i^2/2 \sim \mathcal{E}(1/\theta)$ , donc $E(Y_i)=\theta$ et $\mathrm{Var}(Y_i)=\theta^2$ . Ainsi $E(\hat{\theta})=\theta$ (sans biais) et $\mathrm{Var}(\hat{\theta}) = \theta^2/n \to 0$ , donc $\hat{\theta}$ est convergent en MSE.

التمرين 3

Exercice 3 — Test d'hypothèse unilatéral, fonction puissance

#statistics#hypothesis-testing#power-function#normal-distribution#type-i-error

Soit $(X_1, \ldots, X_n)$ un échantillon de taille $n \geq 1$ d'une population normale d'espérance $\mu$ et de variance 1. Pour trancher entre l'hypothèse nulle $H_0 : \mu \geq 2$ contre l'hypothèse alternative $H_1 : \mu \lt 2$ , on propose le test dont la région de rejet est

$W = \{(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n : \bar{x} \lt 2 - 1/\sqrt{n}\}.$

Déterminer la fonction puissance de ce test. Étudier ses variations puis tracer (approximativement) son graphe.
Sachant que la valeur de la fonction de répartition de la loi normale standard en 1 est égale à $0.84$ , déterminer le risque de première espèce de ce test.
Vérifier que ce test est sans biais.

◀الحل

1.

$\beta(\mu) = P_\mu(\bar{X} \lt 2 - 1/\sqrt{n}) = \Phi\!\left(\sqrt{n}(2-\mu) - 1\right)$ .

$\beta$ est décroissante en $\mu$ , tend vers 1 quand $\mu \to -\infty$ et vers 0 quand $\mu \to +\infty$ .

2.

Risque de 1ère espèce $= \sup_{\mu \geq 2}\beta(\mu) = \beta(2) = \Phi(-1) = 1 - \Phi(1) = 1 - 0.84 = 0.16$ .

3.

Le test est sans biais si $\beta(\mu) \leq \alpha$ pour $\mu \in H_0$ et $\beta(\mu) \geq \alpha$ pour $\mu \in H_1$ . Puisque $\beta$ est décroissante, $\sup_{H_0}\beta = \beta(2) = 0.16$ et $\inf_{H_1}\beta = \beta(2) = 0.16$ , donc

$\boxed{\beta(\mu) \geq 0.16 \text{ pour tout } \mu \lt 2 : \text{ le test est sans biais.}}$

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