مسابقة دكتوراه 2015 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila

On considère le problème d’évolution suivant :

$ \begin{cases} \partial_t u-\partial_{xx}u+f(u)=0, & (t,x)\in ]0,+\infty[\times ]0,1[,\ u(t,0)=u(t,1)=0, & \forall t>0,\ u(0,x)=g(x), & \forall x\in ]0,1[, \end{cases}

o├╣ $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ est une fonction continue telle que $f(u)\cdot u\geq 0$ et $g\in L^2(0,1)$.

On note $P(t)=\lVert u(t)\rVert_{L^2(0,1)}^2$ et on veut obtenir des estimations de plus en plus fines pour $P(t)$, sans résoudre l’EDP.

1. Démontrer que $P'(t)\leq 0$ et déduire que

$
P(t)\leq \lVert g\rVert_{L^2(0,1)}^2,\quad \forall t>0.

2. En utilisant l’inégalité de Poincaré, démontrer que

$ P'(t)\leq -2\pi^2P(t)

et déduire que

$
P(t)\leq P(0)e^{-2\pi^2t}.

3. On prend maintenant $f(u)=u^3$. En utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour estimer $\int_0^1u^4(t)\,dx$, démontrer que

$ P'(t)\leq -2\pi^2P(t)-2P^2(t)

et déduire que

$
P(t)\leq \left(\frac{\pi^2P(0)}{\pi^2+P(0)\left(1-e^{-2\pi^2t}\right)}\right)e^{-2\pi^2t}.

Aide : La constante de Poincaré est $\frac{1}{\pi}$. Le changement de variable $Z(t)=\frac{1}{P(t)}$ peut être utile dans l’inégalité précédente.

On considère le problème de diffusion suivant :

$ \begin{cases} \partial_t u=k\partial_{xx}u, & x\in\mathbb{R},\ t>0,\ u(x,0)=\varphi(x), & x\in\mathbb{R}. \end{cases}

1. Vérifier que la fonction

$
G(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi kt}}e^{-\frac{x^2}{4kt}}

est solution du problème. Comment appelle-t-on cette fonction ?

2. La solution du problème s’écrit comme :

$ u(x,t)=\int_{\mathbb{R}}\varphi(y)G(x-y,t),dy.

Quelles sont les conditions dΓÇÖexistence de cette solution ?

3. Montrer que la solution $u(x,t)$ est $C^\infty$.

4. Écrire la solution pour $\varphi(x)=e^{-x}$, sachant que $\int_{\mathbb{R}}G(y,t)\,dy=1$.