مسابقة دكتوراه 2015 — Université Hadj Lakhdar - Batna 1

Considérons le système suivant sur $L^2(0,1)$ :

$$\begin{cases} \dfrac{\partial y}{\partial t}(x,t) = \dfrac{\partial^2 y}{\partial x^2}(x,t), & 0<x<1,\ t>0,\\[1ex] y(0,t)=y(1,t)=0, & t>0,\\[1ex] z(t) = \displaystyle\int_0^1 c(x)y(x,t)\,dx, & t>0, \end{cases}$$

où

$$c(x)=\mathbf{1}_{[1-\varepsilon,\,1]}(x),$$

et $\varepsilon>0$ est tel que

$$0<1-\varepsilon<1.$$

1. Réécrire ce système sous la forme

$$\begin{cases} y'(t)=Ay(t),\\ z(t)=Cy(t). \end{cases}$$

2. Préciser l'espace d'état $Y$ et l'espace de sorties $Z$.
3. Montrer que $A$ est un opérateur spectral de Riesz. En déduire que $A$ engendre un $C_0$-semi-groupe $S(t)$ sur $Y$. Donner l'expression de ce semi-groupe.
4. Montrer que

$$C\in\mathcal{L}(Y,Z).$$

5. Étudier l'observabilité approchée du système (1).