مسابقة دكتوراه 2016 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 15

مسابقة تخصص · EDP · المدة: 2سا

Concours d'accès au Doctorat LMD, Spécialité EDP, Épreuve 2, Faculté de Mathématiques, Laboratoire AMNEDP, USTHB, Novembre 2016, durée 2h.

التمرين 1

Problème 1 — Méthode variationnelle et théorème de Riesz

#variational-methods#sobolev-spaces#lax-milgram#riesz-theorem

On s'intéresse à la recherche, par une méthode variationnelle, de la fonction $u$ vérifiant le problème aux limites $(P)$ suivant :

$(P) \begin{cases} -\dfrac{d^2u}{dx^2}(x) = f(x), \quad x \in ]0,1[ \\ u(0) = u(1) = 0 \end{cases}$

où $f$ est donnée dans $L^2(]0,1[)$ .

Question 1 : On cherche $u \in H_0^1(]0,1[)$ solution de $(P)$ . Montrer que $u$ est solution du problème variationnel $(PV)$ suivant :

$(PV) \quad \text{Trouver } u \in H_0^1(]0,1[) \text{ tel que : } a(u,v) = L(v), \quad \forall v \in H_0^1(]0,1[)$

On explicitera pour tout $(u,v) \in H_0^1 \times H_0^1$ , la forme bilinéaire $a(.,.)$ et la forme linéaire $L(.)$ .

Question 2 : Montrer que la forme bilinéaire $a(.,.)$ est continue, symétrique sur $H_0^1 \times H_0^1$ , coercive sur $H_0^1$ , et que la forme linéaire $L(.)$ est continue sur $H_0^1(]0,1[)$ .

Question 3 : Montrer que l'application $v \mapsto \sqrt{a(v,v)}$ est une norme équivalente à la norme usuelle de $H^1(]0,1[)$ ; on notera $|||v||| = \sqrt{a(v,v)}$ .

Question 4 : Soit le produit scalaire défini par $(u,v)_1 = a(u,v)$ . Montrer que $(H_0^1(]0,1[), |||.|||)$ est un espace de Hilbert.

Question 5 : Rappeler le théorème de représentation de Riesz. En déduire l'existence et l'unicité (sans faire appel au théorème de Lax-Milgram) de la solution du problème variationnel.

◀الحل

Question 1.

On multiplie $-u'' = f$ par $v \in H_0^1$ et on intègre par parties :

$a(u,v) = \int_0^1 u'(x)v'(x)dx = \int_0^1 f(x)v(x)dx = L(v).$

Question 2.

Continuité : $|a(u,v)| \leq \|u'\|_{L^2}\|v'\|_{L^2} \leq \|u\|_{H^1}\|v\|_{H^1}$ . Symétrie : évidente. Coercivité : par l'inégalité de Poincaré, $\|v'\|^2_{L^2} \geq C\|v\|^2_{H^1}$ . Continuité de $L$ : $|L(v)| \leq \|f\|_{L^2}\|v\|_{L^2} \leq \|f\|_{L^2}\|v\|_{H^1}$ .

Question 3.

Par Poincaré : $\|v'\|_{L^2}^2 \leq \|v\|_{H^1}^2 \leq C\|v'\|_{L^2}^2$ , donc $|||v|||$ est équivalente à la norme $H^1$ .

Question 4.

$(H_0^1, |||.|||)$ est Hilbert car $H_0^1$ avec la norme usuelle est complet et les normes sont équivalentes.

Question 5.

Théorème de Riesz : dans un espace de Hilbert $H$ , toute forme linéaire continue $L$ s'écrit $L(v) = (u,v)_1$ pour un unique $u \in H$ . Ici $L$ est continue sur $(H_0^1, |||.|||)$ , donc il existe un unique $u$ tel que $a(u,v) = L(v)$ pour tout $v$ .

$\boxed{\text{Existence et unicité de la solution par le théorème de Riesz.}}$

التمرين 2

Problème 2 — EDP non linéaire et suites dans les espaces de Sobolev

#nonlinear-pde#sobolev-spaces#lax-milgram#weak-solutions#sobolev-injection

Soient $\Omega$ un ouvert borné régulier de $\mathbb{R}^2$ de bord $\Gamma$ et $f \in L^{\infty}(\mathbb{R})$ , $f \geq 0$ p.p. On suppose que $f$ est lipschitzienne. On considère le problème non-linéaire suivant :

$\begin{cases} -\Delta u + u^2 = f(u) & \text{dans } \Omega \\ u = 0 & \text{sur } \Gamma \end{cases} \tag{1}$

La solution faible de $(1)$ est $u \in H_0^1(\Omega)$ telle que $u \geq 0$ p.p. et vérifiant :

$\int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v + u^2 v\, dx = \int_{\Omega} f(u)v\, dx, \quad \forall v \in H_0^1(\Omega). \tag{2}$

Question 1 : Montrer qu'on peut définir par récurrence une suite de fonctions $(u_n)$ telle que $u_0 = 0$ et pour $n \geq 1$ , $u_n$ est la solution du problème linéaire :

$\begin{cases} -\Delta u_n + u_{n-1} u_n = f(u_{n-1}) & \text{dans } \Omega \\ u_n = 0 & \text{sur } \Gamma \end{cases} \tag{3}$

de sorte que la suite $(u_n)$ vérifie : $u_n \in H_0^1(\Omega)$ , $u_n \geq 0$ p.p. et il existe une constante $C > 0$ indépendante de $n$ telle que $\|u_n\|_{H^1(\Omega)} \leq C$ .

Question 2 : En déduire que la suite $(u_n)$ admet une sous-suite qui converge fortement dans $L^2(\Omega)$ vers une limite $u \in H^1(\Omega)$ .

◀الحل

Question 1.

Pour $n=1$ : le problème linéaire $-\Delta u_1 = f(0)$ avec $u_1=0$ sur $\Gamma$ admet une unique solution par Lax-Milgram (car $f(0) \in L^\infty \subset L^2$ ). Par récurrence, si $u_{n-1}\in H_0^1$ , $u_{n-1}\geq 0$ p.p. et borné, alors le problème (3) est linéaire en $u_n$ avec forme bilinéaire $a(u,v) = \int(\nabla u\cdot\nabla v + u_{n-1}uv)$ , qui est continue et coercive (car $u_{n-1}\geq 0$ ). Par Lax-Milgram, $u_n$ existe et est unique. La borne $\|u_n\|_{H^1}\leq C$ s'obtient en prenant $v = u_n$ dans la formulation faible et en utilisant la lipschitziennité de $f$ .

Question 2.

La suite $(u_n)$ est bornée dans $H_0^1(\Omega)$ . Par l'injection de Sobolev compacte $H_0^1(\Omega) \hookrightarrow L^2(\Omega)$ (Rellich-Kondrachov), on extrait une sous-suite $(u_{n_k})$ convergente fortement dans $L^2(\Omega)$ vers $u$ . Par reflexivité, $u_{n_k} \rightharpoonup u$ dans $H^1(\Omega)$ , donc $u \in H^1(\Omega)$ .

$\boxed{\exists\, u \in H^1(\Omega) : u_{n_k} \to u \text{ fortement dans } L^2(\Omega).}$

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