الرئيسية
دخول

مسابقة دكتوراه 2016 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 14

مسابقة تخصص · EDP

⬇️ تحميل☆ حفظ✓ تم الحل

Concours Doctorat EDP et Applications, Deuxième Épreuve, Faculté de Mathématiques, Département d'Analyse, USTHB, Année 2015-2016, 27 Octobre 2015.

التمرين 1

Exercice I — Distributions : valeur principale et régularisation

#distributions#principal-value#taylor-formula#test-functions
  1. Soit φ\varphi une fonction numérique ∈C∞(R)\in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}). En utilisant la formule de Taylor, montrer que

ψ(x)={φ(x)−φ(0)xsi x≠0φ′(0)si x=0\psi(x) = \begin{cases} \dfrac{\varphi(x) - \varphi(0)}{x} & \text{si } x \neq 0 \\ \varphi'(0) & \text{si } x = 0 \end{cases}

est dans C∞(R)\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}).

  1. Pour φ∈C0∞(R)\varphi \in \mathcal{C}_0^{\infty}(\mathbb{R}), on pose :

⟨PV1x,φ⟩:=lim⁡ε↓0∫∣x∣≥εφ(x)x dx\left\langle PV\frac{1}{x}, \varphi \right\rangle := \lim_{\varepsilon \downarrow 0} \int_{|x| \geq \varepsilon} \frac{\varphi(x)}{x}\, dx

a. Soit ε>0\varepsilon > 0. Montrer que :

⟨PV1x,φ⟩=∫−mmψ(x) dx\left\langle PV\frac{1}{x}, \varphi \right\rangle = \int_{-m}^{m} \psi(x)\, dx

оù ψ\psi est la fonction définie dans la première question et mm est tel que supp φ⊂[−m,+m]\mathrm{supp}\,\varphi \subset [-m, +m].

b. En déduire que PV1xPV\dfrac{1}{x} est une distribution.

  1. Soit ii le nombre imaginaire tel que i2=−1i^2 = -1. Montrer de même que 1x+i0\dfrac{1}{x+i0} et 1x−i0\dfrac{1}{x-i0} définies par :

⟨1x+i0,φ⟩:=lim⁡ε↓0∫Rφ(x)x+iε dx,⟨1x−i0,φ⟩:=lim⁡ε↓0∫Rφ(x)x−iε dx\left\langle \frac{1}{x+i0}, \varphi \right\rangle := \lim_{\varepsilon \downarrow 0} \int_{\mathbb{R}} \frac{\varphi(x)}{x + i\varepsilon}\, dx, \qquad \left\langle \frac{1}{x-i0}, \varphi \right\rangle := \lim_{\varepsilon \downarrow 0} \int_{\mathbb{R}} \frac{\varphi(x)}{x - i\varepsilon}\, dx

sont des distributions.

◀الحل

1.

Par Taylor : φ(x)=φ(0)+xφ′(0)+x22φ′′(ξ)\varphi(x) = \varphi(0) + x\varphi'(0) + \frac{x^2}{2}\varphi''(\xi) pour ξ\xi entre 00 et xx. Donc ψ(x)=φ′(0)+x2φ′′(ξ)\psi(x) = \varphi'(0) + \frac{x}{2}\varphi''(\xi) pour x≠0x\neq 0 et ψ(0)=φ′(0)\psi(0)=\varphi'(0). On montre par récurrence que ψ∈C∞(R)\psi \in \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}).

2a.

∫∣x∣≥εφ(x)xdx=∫∣x∣≥εφ(x)−φ(0)xdx=∫∣x∣≥εψ(x)dx→∫−mmψ(x)dx\int_{|x|\geq\varepsilon}\frac{\varphi(x)}{x}dx = \int_{|x|\geq\varepsilon}\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}dx = \int_{|x|\geq\varepsilon}\psi(x)dx \to \int_{-m}^m \psi(x)dx

car ψ∈C∞\psi \in \mathcal{C}^\infty est intégrable sur [−m,m][-m,m].

2b.

∣⟨PV1x,φ⟩∣=∣∫−mmψ(x)dx∣≤2m∥ψ∥∞≤2m∥φ′∥∞|\langle PV\frac{1}{x},\varphi\rangle| = |\int_{-m}^m\psi(x)dx| \leq 2m\|\psi\|_\infty \leq 2m\|\varphi'\|_\infty. Donc PV1xPV\frac{1}{x} est une forme linéaire continue sur D(R)\mathcal{D}(\mathbb{R}) : c'est une distribution.

3.

On décompose 1x+iε=xx2+ε2−iεx2+ε2\frac{1}{x+i\varepsilon} = \frac{x}{x^2+\varepsilon^2} - i\frac{\varepsilon}{x^2+\varepsilon^2}. Quand ε→0\varepsilon\to 0, la partie réelle tend vers PV1xPV\frac{1}{x} (distribution), et εx2+ε2→πδ0\frac{\varepsilon}{x^2+\varepsilon^2} \to \pi\delta_0 au sens des distributions. Donc 1x+i0=PV1x−iπδ0\frac{1}{x+i0} = PV\frac{1}{x} - i\pi\delta_0 est une distribution.

De même 1x−i0=PV1x+iπδ0\frac{1}{x-i0} = PV\frac{1}{x} + i\pi\delta_0 est une distribution.

1x±i0=PV1x∓iπδ0 (distributions)\boxed{\frac{1}{x\pm i0} = PV\frac{1}{x} \mp i\pi\delta_0 \text{ (distributions)}}

→السابقConcours Doctorat 2016 — Université Mohamed Khider - Biskra — Épreuve N°14التاليConcours Doctorat 2016 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — Épreuve N°15←