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مسابقة دكتوراه 2013 — Université Frères Mentouri - Constantine 1 — الموضوع 02

مسابقة تخصص · EDP · المدة: 3سا

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JSON import — Université Constantine 1 2013 — Université Constantine 1 — Faculté des Sciences Exactes — Département de Mathématiques — Concours d'accès au Doctorat: Equations Différentielles — 19/10/2013 — Epreuve 2 — Source: 9-univ PDF page 47.

التمرين 1

Exercice 1 — Espace $\ell^p$ et norme $\|x\| = \left(\sum_{k=1}^\infty |x_k|^p\right)^{1/p}$

#espaces de Banach#suites#analyse fonctionnelle

Soit l'espace :

ℓp={x=(x1,x2,x3,…) de nombres reˊels ou complexes pour lesquels ∑k=1∞∣xk∣p<+∞,  p≥1}.\ell^p = \left\{ x = (x_1, x_2, x_3, \ldots) \text{ de nombres réels ou complexes pour lesquels } \sum_{k=1}^\infty |x_k|^p < +\infty, \; p \ge 1 \right\}.

Montrer que ∥x∥=(∑k=1∞∣xk∣p)1/p\|x\| = \left(\sum_{k=1}^\infty |x_k|^p\right)^{1/p} est une norme sur ℓp\ell^p.

التمرين 2

Exercice 2 — Opérateurs linéaires bornés $A_n \to A$ en norme et convergence $A_n x \to Ax$ sur bornés

#analyse fonctionnelle#opérateurs bornés#convergence

Soient XX et YY deux espaces normés, (An)n∈N(A_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite d'opérateurs linéaires bornés, définis de XX dans YY (c'est à dire An∈L(X,Y)A_n \in L(X,Y), ∀n∈N∗\forall n \in \mathbb{N}^*) et soit A∈L(X,Y)A \in L(X,Y). Montrer que si AnA_n converge en norme vers AA alors AnxA_n x converge vers AxAx sur les parties bornées de XX.

التمرين 3

Exercice 3 — Graphe fermé $\Gamma = \{(x, f(x)), x \in E\}$ si $f$ continue

#topologie#graphe#continuité

Soient EE et FF deux espaces topologiques, avec FF un espace séparé, soit f:E→Ff : E \to F et Γ={(x,f(x)),x∈E}⊂E×F\Gamma = \{(x, f(x)), x \in E\} \subset E \times F le graphe de ff.

  1. Montrer que ff est continue implique que Γ\Gamma est fermé.
  2. Montrer que l'inverse n'est pas vrai, (prendre E=RE = \mathbb{R} et f(x)={1x,x≠00,x=0f(x) = \begin{cases}\frac{1}{x}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0\end{cases}).

التمرين 4

Exercice 4 — Espace de Banach $E$, opérateur $A$ borné : semi-groupe $\{e^{tA}\}_{t \ge 0}$

#espaces de Banach#semi-groupe#opérateur borné

Soit EE un espace de Banach et AA un opérateur linéaire borné sur EE. Montrer que la famille {etA}t≥0\{e^{tA}\}_{t \ge 0} est un semi-groupe uniformément continu sur EE.

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