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مسابقة دكتوراه 2013 — Université Yahia Farès - Médéa — الموضوع 02

مسابقة تخصص · Analyse Numérique & Optimisation · المدة: 2سا

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Concours d'accès au Doctorat LMD « Analyse et Modélisation Mathématiques », Épreuve d'Analyse Numérique, Sujet 1, Université Yahia Farès de Médéa, Faculté des Sciences et de la Technologie — Année universitaire 2012/2013 (Durée 2h).

التمرين 1

Exercice 1 — Système linéaire, fonctionnelle quadratique et méthode du gradient

#linear-systems#gradient-method#symmetric-positive-definite#convergence

On considère le système

Ax=b(1)Ax = b \qquad (1)
  1. (3 pts) Soit J:Rm→RJ : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} définie par J(x)=(Ax,x)−2(b,x)J(x) = (Ax, x) - 2(b, x). Avec la matrice A∈Mm(R)A \in \mathcal{M}_m(\mathbb{R}) dans le système (1) symétrique, montrer que J′(x)=grad J(x)=2(Ax−b)J'(x) = \text{grad}\, J(x) = 2(Ax - b).
  2. (2 pts) Si de plus AA dans (1) est symétrique définie positive, montrer que la solution du système (1) est celle qui minimise J(y)=(Ay,y)−2(b,y)J(y) = (Ay, y) - 2(b, y) (c'est-à-dire toute solution de (1) est solution de J(x)≤J(y)J(x) \leq J(y), ∀y∈Rm\forall y \in \mathbb{R}^m).
  3. (3 pts) Soit la matrice AA dans (1) telle que (Ax,x)≥α∥x∥2(Ax, x) \geq \alpha \|x\|^2, α>0\alpha \gt 0, ∀x∈Cm\forall x \in \mathbb{C}^m. Montrer que le système (1) admet une solution unique et la suite définie par
x(k+1)=x(k)−θ(Ax(k)−b)pour x(0)∈Cmx^{(k+1)} = x^{(k)} - \theta(Ax^{(k)} - b) \quad \text{pour } x^{(0)} \in \mathbb{C}^m

converge vers la solution xx pour 0<θ<2α∥A∥20 \lt \theta \lt \frac{2\alpha}{\|A\|^2}.

◀الحل

1.

J(x+h)=(A(x+h),x+h)−2(b,x+h)=J(x)+2(Ax−b,h)+(Ah,h)J(x+h) = (A(x+h), x+h) - 2(b, x+h) = J(x) + 2(Ax-b, h) + (Ah, h). Le terme linéaire en hh donne J′(x)⋅h=2(Ax−b,h)J'(x) \cdot h = 2(Ax-b, h), donc grad J(x)=2(Ax−b)\text{grad}\,J(x) = 2(Ax-b).

J′(x)=2(Ax−b)\boxed{J'(x) = 2(Ax - b)}

2.

J(y)−J(x)=(A(y−x),y−x)+2(Ax−b,y−x)J(y) - J(x) = (A(y-x), y-x) + 2(Ax-b, y-x). Si Ax=bAx = b : J(y)−J(x)=(A(y−x),y−x)≥0J(y) - J(x) = (A(y-x), y-x) \geq 0 car AA est définie positive.

x est le minimum de J\boxed{x \text{ est le minimum de } J}

3.

L'erreur e(k)=x(k)−xe^{(k)} = x^{(k)} - x satisfait e(k+1)=(I−θA)e(k)e^{(k+1)} = (I - \theta A)e^{(k)}. On a ∥I−θA∥≤max⁡(∣1−θλmin⁡∣,∣1−θλmax⁡∣)\|I - \theta A\| \leq \max(|1 - \theta \lambda_{\min}|, |1 - \theta \lambda_{\max}|). La condition 0<θ<2α/∥A∥20 \lt \theta \lt 2\alpha/\|A\|^2 assure ∥I−θA∥<1\|I - \theta A\| \lt 1, donc convergence.

Convergence pour 0<θ<2α∥A∥2\boxed{\text{Convergence pour } 0 \lt \theta \lt \frac{2\alpha}{\|A\|^2}}

التمرين 2

Exercice 2 — Schéma aux différences finies pour une EDP parabolique

#finite-differences#parabolic-pde#euler-explicit#consistency#stability

On considère le problème parabolique :

{ut+ux−αuxx=0,(x,t)∈]0,1[×]0,T[u(1,t)=u(0,t)=0,t∈]0,T[u(x,0)=u0(x),x∈]0,1[(1)\begin{cases} u_t + u_x - \alpha u_{xx} = 0, \quad (x,t) \in ]0,1[ \times ]0, T[ \\ u(1, t) = u(0, t) = 0, \quad t \in ]0, T[ \\ u(x, 0) = u_0(x), \quad x \in ]0, 1[ \end{cases} \qquad (1)

où u0∈C([0,1])u_0 \in C([0,1]) et α>0\alpha \gt 0 sont donnés. On admettra que la solution de (1) existe et qu'elle est suffisamment régulière pour tous les développements de Taylor qu'on voudra effectuer.

  1. (3 pts) Écrire le schéma d'approximation de (1) par différences finies à pas constant (noté hh, et tel que h=1Nh = \frac{1}{N}), centré en espace (c.à.d. en approchant u′(jh)u'(jh) par 12h(u((j+1)h)−u((j−1)h))\frac{1}{2h}(u((j+1)h) - u((j-1)h)) et u′′(jh)u''(jh) par 1h2(u((j+1)h)−2u(jh)+u((j−1)h))\frac{1}{h^2}(u((j+1)h) - 2u(jh) + u((j-1)h))) et avec le schéma d'Euler explicite à pas constant (noté kk, avec k=TMk = \frac{T}{M}) en temps.
  2. (3 pts) Montrer que l'erreur de consistance Tj,nT_{j,n} est majorée par C(k+h2)C(k + h^2) où CC ne dépend que de la solution exacte de (1).
  3. (3 pts) Sous quelle(s) condition(s) sur kk et hh a-t-on le résultat de stabilité : ∥un∥∞≤∥u0∥∞\|u^n\|_\infty \leq \|u^0\|_\infty, ∀n≤M\forall n \leq M (où unu^n désigne la solution approchée au temps tn=nkt_n = nk et ∥un∥∞=max⁡j=1,…,N∣uj,n∣\|u^n\|_\infty = \max_{j=1,\ldots,N} |u_{j,n}|) ?
  4. (3 pts) Donner un résultat de convergence pour ce schéma.
◀الحل

1.

Le schéma s'écrit :

ujn+1−ujnk+uj+1n−uj−1n2h−αuj+1n−2ujn+uj−1nh2=0\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{k} + \frac{u_{j+1}^n - u_{j-1}^n}{2h} - \alpha \frac{u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n}{h^2} = 0 ujn+1=ujn−k2h(uj+1n−uj−1n)+αkh2(uj+1n−2ujn+uj−1n)\boxed{u_j^{n+1} = u_j^n - \frac{k}{2h}(u_{j+1}^n - u_{j-1}^n) + \frac{\alpha k}{h^2}(u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n)}

2.

Par développement de Taylor, l'erreur de troncature en espace est O(h2)O(h^2) (schéma centré) et en temps O(k)O(k) (Euler explicite). D'où Tj,n=O(k+h2)T_{j,n} = O(k + h^2).

∣Tj,n∣≤C(k+h2)\boxed{|T_{j,n}| \leq C(k + h^2)}

3.

Par analyse de von Neumann ou par le principe du maximum discret, la condition de stabilité CFL est k2h+2αkh2≤1\frac{k}{2h} + \frac{2\alpha k}{h^2} \leq 1, soit k(12h+2αh2)≤1k(\frac{1}{2h} + \frac{2\alpha}{h^2}) \leq 1.

k≤h22α+h/2\boxed{k \leq \frac{h^2}{2\alpha + h/2}}

4.

Par le théorème de Lax (consistance + stabilité = convergence), sous la condition CFL, le schéma converge à l'ordre O(k+h2)O(k + h^2).

∥un−u(.,tn)∥∞≤C(k+h2)\boxed{\|u^n - u(.,t_n)\|_\infty \leq C(k + h^2)}
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