مسابقة دكتوراه 2013 — Université Ferhat Abbas - Sétif 1 — الموضوع 02

مسابقة تخصص · EDP · المدة: 1سا 30د

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Concours d'Accès en Doctorat LMD 2013-2014, Épreuve EDP, Université de Sétif 1, octobre 2013, durée 1h30.

التمرين 1

Exercice 1 — EDP linéaire du second ordre

#partial-differential-equations#general-solution#first-order-reduction

Trouver la solution $u(x,y)$ de l'équation aux dérivées partielles

$\dfrac{\partial^2 u}{\partial x\,\partial y}+\dfrac{\partial u}{\partial x}=0.$

◀الحل

On pose $p=\dfrac{\partial u}{\partial x}$ : alors $\dfrac{\partial p}{\partial y}+p=0$ , donc $p=A(x)e^{-y}$ . En intégrant en $x$ :

$\boxed{u(x,y)=F(x)e^{-y}+G(y)}$

avec $F,G$ arbitraires de classe $C^1$ .

التمرين 2

Exercice 2 — EDP du premier ordre et surface intégrale

#first-order-pde#method-of-characteristics#integral-surface

Déterminer la solution générale de l'équation aux dérivées partielles du premier ordre

$\dfrac1x\dfrac{\partial z}{\partial x}+\dfrac1y\dfrac{\partial z}{\partial y}=4,$

et la surface intégrale qui contient la courbe $(C):\ \{\,y^2=z,\ x=0\,\}$ .

◀الحل

Caractéristiques : $x\,dx=y\,dy=\dfrac{dz}{4}$ , d'où les invariants $x^2-y^2=c_1$ et $z-2x^2=c_2$ . Solution générale $z=2x^2+F(x^2-y^2)$ .

Sur $(C)$ : $c_1=-y^2,\ c_2=y^2$ , donc $c_2=-c_1$ , soit $F(s)=-s$ . La surface intégrale est

$\boxed{z=x^2+y^2}$

التمرين 3

Problème — Équation de la chaleur (Neumann) par séparation des variables

#heat-equation#separation-of-variables#fourier-series#neumann-boundary

Par la méthode de séparation des variables combinée aux séries de Fourier, trouver la solution $u(x,t)$ de

$4\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\dfrac{\partial u}{\partial t},\qquad \forall t\gt0,$

avec les conditions aux limites

$\dfrac{\partial u}{\partial x}(0,t)=0=\dfrac{\partial u}{\partial x}(\pi,t),\qquad \forall t\gt0,$

et la condition initiale $u(x,0)=f(x)$ , $0\le x\le\pi$ , où

$f(x)=\begin{cases} x & \text{si } 0\le x\le \tfrac{\pi}{2}\\[2pt] \pi-x & \text{si } \tfrac{\pi}{2}\lt x\le \pi\end{cases}$

◀الحل

Modes de Neumann : $u=\tfrac{a_0}{2}+\sum_{n\ge1}a_n e^{-4n^2 t}\cos(nx)$ . Le développement en cosinus de $f$ donne $a_0/2=\pi/4$ et $a_n=-8/(\pi n^2)$ non nul seulement pour $n\equiv2\ (\mathrm{mod}\ 4)$ , soit $n=2(2j+1)$ :

$\boxed{u(x,t)=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{2}{\pi}\sum_{j=0}^{\infty}\dfrac{e^{-16(2j+1)^2 t}}{(2j+1)^2}\cos\!\big(2(2j+1)x\big)}$

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