مسابقة دكتوراه 2013 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 02

مسابقة تخصص · EDP

Concours d'entrée à l'école doctorale EDP et Applications — Première épreuve, USTHB, Faculté de Mathématiques — 23 octobre 2013 (Durée : deux heures).

التمرين 1

Exercice 1 — Norme d'opérateur matriciel et différentiabilité

#operator-norm#matrix-space#differentiability#submultiplicativity

Soit $E = \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ l'espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ des matrices carrées d'ordre $n$ . Soit $\|.\|$ une norme sur $\mathbb{R}^n$ .

Montrer que l'application $N : E \to \mathbb{R}_+$ , $M \mapsto N(M) = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Mx\|}{\|x\|}$ définit une norme sur $E$ .
Montrer que $N(M_1 M_2) \leq N(M_1) N(M_2)$ .
Montrer que l'application $\Phi : E \to E$ , $M \mapsto M^3$ est différentiable et donner la forme précise de la différentielle de $\Phi$ en un point $M$ .

◀الحل

1.

Séparation : $N(M) = 0 \Rightarrow Mx = 0$ $\forall x$ , donc $M = 0$ . Homogénéité et inégalité triangulaire directes.

2.

$N(M_1 M_2) = \sup \frac{\|M_1 M_2 x\|}{\|x\|} \leq \sup \frac{N(M_1)\|M_2 x\|}{\|x\|} = N(M_1)N(M_2)$ .

3.

$(M+H)^3 - M^3 = M^2 H + MHM + HM^2 + o(H)$ . La différentielle est $D\Phi(M) \cdot H = M^2 H + MHM + HM^2$ .

\boxed{D\Phi(M) \cdot H = M^2 H + MHM + HM^2}

التمرين 2

Exercice 2 — Coefficients de Fourier et noyau de Poisson

#fourier-series#poisson-kernel#convergence#pde

Étant donnée une fonction $f$ continue et périodique de période $2\pi$ , on appelle coefficients de Fourier de $f$ , les nombres $\hat{f}(n) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx} dx$ , $n \in \mathbb{Z}$ .

On définit la fonction $P$ sur $\mathbb{R}^*_+ \times \mathbb{R}$ par $P(t, x) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} e^{-|n|t} e^{inx}$ .

Dire pour quelles valeurs du couple $(t, x) \in \mathbb{R}^2$ , la série $\sum_{n \in \mathbb{Z}} e^{-|n|t} e^{inx}$ est convergente.
On suppose $t \gt 0$ . a. Vérifier que $P(t, x)$ est réelle et calculer $\int_{-\pi}^{\pi} P(t, x) \, dx$ . b. Vérifier que $P$ est indéfiniment dérivable. c. Calculer $\frac{\partial^2 P}{\partial t^2} + \frac{\partial^2 P}{\partial x^2}$ .
Calculer les coefficients de Fourier de la fonction $P$ .

◀الحل

1.

Convergente pour tout $(t,x)$ avec $t \gt 0$ (série géométrique). Pour $t = 0$ , converge ssi la série $\sum e^{inx}$ converge, ce qui n'est pas le cas en général.

2.a.

$P(t,x) = 1 + 2\sum_{n=1}^{\infty} e^{-nt}\cos(nx)$ est réelle. $\int_{-\pi}^{\pi} P(t,x)dx = 2\pi$ (seul le terme $n=0$ contribue).

2.b.

Pour $t \gt 0$ , la convergence uniforme des dérivées partielles est assurée par le facteur $e^{-nt}$ .

2.c.

$\frac{\partial^2 P}{\partial t^2} + \frac{\partial^2 P}{\partial x^2} = \sum (n^2 - n^2) e^{-|n|t} e^{inx} = 0$ . $P$ est harmonique.

3.

$\hat{P}(n) = e^{-|n|t}$ .

\boxed{\hat{P}(n) = e^{-|n|t}, \quad \Delta P = 0}

التمرين 3

Exercice 3 — Mesure de Lebesgue et convergence dominée

#lebesgue-measure#dominated-convergence#integration

A. Soit $f$ dans l'espace de Lebesgue $\mathcal{L}^1(\mathbb{R})$ .

Soit $E = \{x \in \mathbb{R} : |\sin x| = 1\}$ . Évaluer la mesure de Lebesgue de $E$ .
Calculer $\lim_{n \to +\infty} \int_{\mathbb{R}} f(x)(\sin x)^n \, dx$ .

B. Soit $\alpha \geq 0$ . Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{R}$ on pose $f_{n,\alpha}(x) = \frac{e^{-\alpha|x|}}{n} I_{[0, n^2]}(x)$ .

Montrer que la suite $(f_{n,\alpha})_{n \geq 1}$ tend vers $0$ uniformément sur $\mathbb{R}$ lorsque $n \to +\infty$ .
Étudier la limite $\lim_{n \to +\infty} \int_{\mathbb{R}} f_{n,\alpha}(x) \, dx$ pour $\alpha = 0$ et $\alpha = 1$ . Que peut-on en conclure ?

◀الحل

A.1.

$E = \{x : |\sin x| = 1\} = \{\frac{\pi}{2} + k\pi : k \in \mathbb{Z}\}$ . C'est un ensemble dénombrable, donc $\lambda(E) = 0$ .

A.2.

$(\sin x)^n \to 0$ p.p. (sauf sur $E$ de mesure nulle) et $|f(x)(\sin x)^n| \leq |f(x)| \in L^1$ . Par convergence dominée : $\lim = 0$ .

B.1.

$\|f_{n,\alpha}\|_\infty \leq \frac{1}{n} \to 0$ .

B.2.

Pour $\alpha = 0$ : $\int f_{n,0} = \frac{n^2}{n} = n \to +\infty$ . Pour $\alpha = 1$ : $\int f_{n,1} = \frac{1}{n}\int_0^{n^2} e^{-x}dx = \frac{1-e^{-n^2}}{n} \to 0$ . Conclusion : la convergence uniforme vers $0$ n'implique pas la convergence de l'intégrale (cas $\alpha = 0$ ).

\boxed{\alpha = 0 : \lim = +\infty, \quad \alpha = 1 : \lim = 0}

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