مسابقة دكتوراه 2013 — Université Hadj Lakhdar - Batna 1 — الموضوع 02

Soit $\Omega=]c,d[$. Pour $\varepsilon>0$, on considère

$$\begin{cases} -\dfrac{d}{dx}\left(a_\varepsilon\dfrac{du_\varepsilon}{dx}\right)+b_\varepsilon u_\varepsilon=f_\varepsilon, & \text{dans }\Omega,\\ u_\varepsilon=0, & \text{sur }\partial\Omega, \end{cases}$$

avec

$$0<\alpha\leq a_\varepsilon(x)\leq\beta\quad\text{p.p. sur }\Omega,$$ $$\frac{1}{a_\varepsilon}\overset{*}{\rightharpoonup}c\quad\text{faiblement-* dans }L^\infty(\Omega),$$ $$0<\gamma\leq c(x)\leq\eta\quad\text{p.p. sur }\Omega,$$ $$b_\varepsilon\geq0,\qquad f_\varepsilon\rightharpoonup f\quad\text{faiblement dans }L^2(\Omega),$$

et

$$b_\varepsilon\overset{*}{\rightharpoonup}b\quad\text{faiblement-* dans }L^\infty(\Omega).$$

1. Montrer que le problème admet une unique solution faible $u_\varepsilon\in H_0^1(\Omega)$.

2. Montrer que

$$u_\varepsilon\rightharpoonup u_0\quad\text{faiblement dans }H_0^1(\Omega),$$

où $u_0$ est l’unique solution faible d’un problème limite $(P_0)$ à déterminer.

3. Que devient le problème si les hypothèses sur $a_\varepsilon$ sont remplacées par

$$a_\varepsilon(x)=a\left(\frac{x}{\varepsilon}\right),$$

où $a$ est $Y$-périodique, $Y=]0,\ell[$, et $0<\alpha\leq a(y)\leq\beta$ p.p. sur $Y$ ?

4. Que devient le problème si elles sont remplacées par

$$a_\varepsilon\to a\quad\text{fortement dans }L^\infty(\Omega),\qquad 0<\alpha\leq a_\varepsilon(x)\quad\text{p.p.}?$$

5. Que devient le problème si les hypothèses de convergence ne sont vraies que pour une sous-suite ?